【推荐1】已知数列满足，.
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：.

【推荐2】设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和的最大值及此时的值；
（3）求数列的前项和．

【推荐3】已知数列，满足，为数列的前项和，记的前项和为，的前项积为，且.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，对任意自然数，都有，求实数的取值范围.

【推荐1】若数列中的每一项都为实数，且满足，则称为为“数列”.
(1)若数列为“数列”且，求的值；
(2)求证：若数列为“数列”，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
(3)若数列为“数列”，且中不含值为的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能的取值.

【推荐2】将全体自然数填入如图所示的 3 行无穷列的表格，每格只填一个数字，不同格内的数字不同. 对于正整数、，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对于任意，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集的“友好数对”.

第1行					…
第2行					…
第3行					…

（Ⅰ）试判断数对与是否是的“友好数对”，并说明理由；
（Ⅱ）若，问：是否存在，使得数对是的“友好数对”？若存在，给出满足条件的一个的取值，并写出相应的表格填法，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）试给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件.（结论不要求证明）

【推荐3】设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上.
（1）求，归纳数列的通项公式（不必证明）.
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，，，；，，，；，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值.
（3）设为数列的前项积，且，求数列的最大项.

【推荐2】已知均为非负实数,且.
证明:（1）当时,;
（2）对于任意的,.

【推荐3】数列的前项和为，若存在正整数，且，使得，同时成立，则称数列为“数列”.
（1）若首项为，公差为的等差数列是“数列”，求的值；
（2）已知数列为等比数列，公比为.
①若数列为“数列”，，求的值；
②若数列为“数列”，，求证：为奇数，为偶数.