题型：解答题
难度：0.4
引用次数：3015
题号：15360406
已知双曲线
：
过点
，且的渐近线方程为
.
(1)求的方程；
(2)如图，过原点O作互相垂直的直线
，
分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A，D在x轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.
①求四边形ACBD面积的取值范围；
②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由.
：过点，且的渐近线方程为.(1)求
的方程；(2)如图，过原点O作互相垂直的直线
，分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A，D在x轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.①求四边形ACBD面积的取值范围；
②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由.
更新时间：2022-03-29 14:06:04
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】已知双曲线
：
（
，
）过点
，且与双曲线
：
有相同的渐近线．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线
：
与双曲线交于
，
两点，且线段
的垂直平分线过点
，求直线的方程．
：（，）过点，且与双曲线：有相同的渐近线．(1)求双曲线
的方程；(2)若直线
：与双曲线交于，两点，且线段的垂直平分线过点，求直线的方程．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】已知双曲线
的右焦点为
，且过点
．
(1)求的方程；
(2)设点
，
为坐标原点，直线
与的右支交于
两点，过点
作直线
的平行线，与x轴交于点
，与直线
交于点
，证明：为线段
的中点．
的右焦点为，且过点．(1)求
的方程；(2)设点
，为坐标原点，直线与的右支交于两点，过点作直线的平行线，与x轴交于点，与直线交于点，证明：为线段的中点．
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,渐近线方程为
.
与双曲线
两点，试探究，是否存在以线段
为直径的圆过原点．若存在，求出
【推荐1】已知双曲线的渐近线方程为
，过右焦点
且斜率为
的直线与相交于两点.
(1)求的方程；
(2)①若点关于
轴的对称点为
，求证直线
恒过定点，并求出点的坐标；
②若
，求
面积的最大值.
的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.(1)求
的方程；(2)①若
点关于轴的对称点为，求证直线恒过定点，并求出点的坐标；②若
，求面积的最大值.
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】已知双曲线
的一条渐近线方程为
，焦距为
.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线
与双曲线交于两点，且点
在第一象限，过点作轴的垂线，交轴于点，交双曲线于另一点
，连结
交双曲线于点，求证：
.
的一条渐近线方程为，焦距为.（1）求双曲线
的方程；（2）若直线
与双曲线交于两点，且点在第一象限，过点作轴的垂线，交轴于点，交双曲线于另一点，连结交双曲线于点，求证：.
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：
的一条渐近线垂直，且
的对称点为
，过
为定值．
【推荐1】我们把等轴双曲线的一部分
与半圆
合成的曲线称作“异型”曲线，其中
是焦距为
的等轴双曲线的一部分，如图所示．
(1)求“异型”曲线的方程；
(2)若
，为“异数”曲线上的点，求
的最小值；
(3)若直线
与“异形”曲线有两个公共点，求的取值范围．
与半圆合成的曲线称作“异型”曲线，其中是焦距为的等轴双曲线的一部分，如图所示．(1)求“异型”曲线
的方程；(2)若
，为“异数”曲线上的点，求的最小值；(3)若直线
与“异形”曲线有两个公共点，求的取值范围．
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【推荐2】已知双曲线
（，）的左，右焦点分别为
，
，左顶点为，直线过左焦点，与双曲线的左，右两支依次交于，两点．当
轴时，
，
．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点
和点关于轴对称（两个点不重合），直线
与轴交于点
，求
的取值范围．
（，）的左，右焦点分别为，，左顶点为，直线过左焦点，与双曲线的左，右两支依次交于，两点．当轴时，，．(1)求双曲线
的标准方程；(2)点
和点关于轴对称（两个点不重合），直线与轴交于点，求的取值范围．
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，
，点
，记点
，直线与轨迹
轴的垂线
、
，垂足分别为
，试确定
的取值范围；
恒成立？如果存在，求出定点
解答题-问答题
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(0.4)
解题方法
【推荐1】已知双曲线
的一条渐近线方程为
，若过点
的直线交于，两点.
(1)求直线的斜率范围；
(2)若交的两条渐近线于，两点且满足
，求直线的斜率的大小.
的一条渐近线方程为，若过点的直线交于，两点.(1)求直线
的斜率范围；(2)若
交的两条渐近线于，两点且满足，求直线的斜率的大小.
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【推荐2】已知点
，直线
，动点
到
的距离与到直线的距离之比为
.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设点是轨迹上一点，在直线
，
上分别取点A，B，当A，B分别位于第一、二象限时，若
，
，求△AOB面积的取值范围.
附：在△ABC中，若
，则△ABC的面积为
.
，直线，动点到的距离与到直线的距离之比为.(1)求动点
的轨迹的方程；(2)设点
是轨迹上一点，在直线，上分别取点A，B，当A，B分别位于第一、二象限时，若，，求△AOB面积的取值范围.附：在△ABC中，若
，则△ABC的面积为.
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（
）和双曲线
，设直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
.
的值；
，求
的值.
