袋中有个白球和个黑球,从中任取一球,若取出白球,则把它放回袋中;若取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为.
(1)求的数学期望;
(2)设,求,.
(1)求的数学期望;
(2)设,求,.
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更新时间:2022-04-15 18:50:44
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【推荐1】设 (,).
(1)若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8,求k的值;
(2)设(),且各项系数,,,…,互不相同.现把这个不同系数随机排成一个三角形数阵:第1列1个数,第2列2个数,…,第n列n个数.设是第i列中的最小数,其中,且i,.记的概率为.求证:.
(1)若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8,求k的值;
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐2】口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球.现有一抽奖游戏规则如下:抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球,最多取球2n+1(n)次.若取出白球的累计次数达到n+1时,则终止取球且获奖,其它情况均不获奖.记获奖概率为.
(1)求;
(2)证明:.
(1)求;
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解答题-应用题
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困难
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解题方法
【推荐3】卡塔尔世界杯小组赛阶段,每个小组4支球队循环比赛,共打6场,每场比赛中,胜、平、负分别积3,1,0分.每个小组积分的前两名球队出线,进入淘汰赛.若出现积分相同的情况,则需要通过净胜球数等规则决出前两名,每个小组前两名球队出线,进入淘汰赛.假定积分相同的球队,通过净胜球数等规则出线的概率相同(例:若,,三支球队积分相同,同时争夺第二名,则每个球队夺得第二名的概率相同).已知某小组内的,,,四支球队实力相当,且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是,每场比赛的结果相互独立.
(1)若球队在小组赛的3场比赛中胜1场,负2场,求其最终出线的概率.
(2)已知该小组的前三场比赛结果如下:与比赛,胜;与比赛,胜;与比赛,胜.设小组赛阶段,球队的积分之和为,求的分布列及期望.
(1)若球队在小组赛的3场比赛中胜1场,负2场,求其最终出线的概率.
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐1】冠状病毒是一个大型病毒家族,已知可引起感冒以及中东呼吸综合征()和严重急性呼吸综合征()等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒()是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中,感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭,甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有n()份血液样本,有以下两种检验方式:方式一:逐份检验,则需要检验n次.方式二:混合检验,将其中k(且)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这k份的血液全为阴性,因而这k份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性,就要对这k份再逐份检验,此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为p().现取其中k(且)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为.
(1)若,试求p关于k的函数关系式;
(2)若p与干扰素计量相关,其中()是不同的正实数,满足且()都有成立.
(i)求证:数列等比数列;
(ii)当时,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少,求k的最大值
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解答题-证明题
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困难
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解题方法
【推荐2】现有一批疫苗试剂,拟进入动物试验阶段,将1000只动物平均分成100组,任选一组进行试验.第一轮注射,对该组的每只动物都注射一次,若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体,说明疫苗有效,试验终止;否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射,再次检验.如果被二次注射的动物都产生抗体,说明疫苗有效,否则需要改进疫苗.设每只动物是否产生抗体相互独立,两次注射疫苗互不影响,且产生抗体的概率均为.
(1)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含的多项式表示);
(2)记该组动物需要注射次数的数学期望为,求证:.
(1)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含的多项式表示);
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解答题-问答题
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困难
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名校
【推荐3】新冠抗疫期间,某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫,决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下:在不透明的小盒中放有大小质地相同的个黑球和个红球,从中随机取一球,若取出黑球,则放回小盒中,不作任何改变;若取出红球,则黑球替换该红球重新放回小盒中,此模型可以解释为“安全模型”,即若发现一个新冠患者,则移出将其隔离进行诊治.(注:考虑样本容量足够大和治愈率的可能性,用黑球代替红球)
(1)记在第次时,刚好抽到第二个红球,试用表示恰好第次抽到第二个红球的概率;
(2)数学实验的方式约定:若抽到第个红球则停止抽球,且无论第次是否能够抽到红球或第二个红球,当进行到第次时,即停止抽球;记停止抽球时已抽球总次数为,求的数学期望.(精确到小数点后位)
参考数据:,,
,.
(1)记在第次时,刚好抽到第二个红球,试用表示恰好第次抽到第二个红球的概率;
(2)数学实验的方式约定:若抽到第个红球则停止抽球,且无论第次是否能够抽到红球或第二个红球,当进行到第次时,即停止抽球;记停止抽球时已抽球总次数为,求的数学期望.(精确到小数点后位)
参考数据:,,
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