【推荐1】学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为．观测点实时跟踪航天器．

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（只需求出曲线方程即可，不必求范围）；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离为多少时，应向航天器发出变轨指令？

【推荐2】已知圆C经过点，，且它的圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求三角形PMN的面积.

【推荐3】已知平行四边形的三个顶点坐标为，，.
(1)求平行四边形的顶点的坐标；
(2)求平行四边形的面积.

【推荐1】圆C经过点和点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程及原点O到直线AB距离最大时m的值．

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，.
（1）若直线在轴、轴上的截距之和为-1，求坐标原点到直线的距离；
（2）若直线与直线：和：分别相交于、两点，点到、两点的距离相等，求的值.

【推荐3】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点的极坐标为．
(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
(2)若是曲线上的动点，为线段的中点，求点到直线的距离的最大值．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20）、B（14，0）、C（－10，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点处修建一个文化中心．
(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小．

【推荐3】设圆O：（x－x₀）²＋（y－y₀）²＝r²与直线l：Ax＋By＋C＝0相离，若点P是圆O上一动点，点Q为直线l上一动点，求证：．