题型：解答题
难度：0.65
引用次数：490
题号：15812408
立德中学为了迎接“冬奥会”，号召全校教职工参与“微信运动”活动．该校的200名教职工都参与了“微信运动”活动，且每月进行一次评比，对该月每日运动都达到10000步及以上的教职工授予该月“冰墩墩达人”称号，其余教职工均称为“参与者”．下表是该校200名教职工2021年7月到11月获得“冰墩墩达人”称号的统计数据：
(1)由表中看，可用线性回归模型拟合“冰墩墩达人”教职工数y与月份编号x之间的关系式．求y关于x的回归直线方程
，并预测该校12月份获得“冰墩墩达人”称号的教职工数；
(2)为了进一步了解教职工的运动情况，选取9月份的运动数据进行分析，统计结果如下：
请补充表中的数据（直接写出b，c的值）并根据表中数据判断是否有99.9%的把握认为获得“冰墩墩达人”称号与性别有关？
参考公式及数据：
，
，
，其中
．
实际月份（月） | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
月份编号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
“冰墩墩达人”教职工数y（人） | 135 | 145 | 150 | 155 | 165 |
(1)由表中看，可用线性回归模型拟合“冰墩墩达人”教职工数y与月份编号x之间的关系式．求y关于x的回归直线方程
，并预测该校12月份获得“冰墩墩达人”称号的教职工数；(2)为了进一步了解教职工的运动情况，选取9月份的运动数据进行分析，统计结果如下：
冰墩墩达人 | 参与者 | 总计 | |
男职工 | 70 | b | 80 |
女职工 | c | 40 | 120 |
总计 | 150 | 50 | 200 |
请补充表中的数据（直接写出b，c的值）并根据表中数据判断是否有99.9%的把握认为获得“冰墩墩达人”称号与性别有关？
参考公式及数据：
，，，其中．
| 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
更新时间：2022-05-17 12:11:53
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【推荐1】近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的
县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量
（单位：千辆）与年使用人次
（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示.
或指数函数模型
对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；
（2）已知每辆单车的购入成本为
元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次
元，按用户每使用一次，收费
元计算，若投入
辆单车，则几年后可实现盈利？
参考数据：其中
，
.
参考公式：对于一组数据
，
，…
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
.
县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示. | |  |  |  |  |  |  |
| |  |  |  |  |  |  |
或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；（2）已知每辆单车的购入成本为
元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？参考数据：其中
，. |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |
，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
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解题方法
【推荐2】为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：
(1)判断
（
为常数）与
（
为常数，且
）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令
，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值，
（ⅰ）证明：对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即
为常数）；
（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据
其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
| 天数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 繁殖个数y | 3 | 6 | 13 | 25 | 45 | 100 |
（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)对于非线性回归方程
（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值， |  |  |  |  |  |
| 3.50 | 32 | 2.85 | 17.5 | 307 | 12.12 |
，令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即为常数）；（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据
其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
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解题方法
【推荐3】某果园种植“糖心苹果”已有十余年，为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植､采摘､包装､宣传等环节进行改进.如图是2013年至2022年，该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图：
该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型；
模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：
；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：
的附近，对投资金额做交换，令
，则
，且有
，
，
，
.
(1)根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；
(2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数
，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.
附：
，
；
相关指数
.
参考数据：
，
.
（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图：该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了
关于的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得
与的线性回归方程：；模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：
的附近，对投资金额做交换，令，则，且有，，，.(1)根据所给的统计量，求模型②中
关于的回归方程；(2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数
，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.| 回归模型 | 模型① | 模型② |
| 回归方程 | |  |
 | 102.28 | 36.19 |
，；相关指数
.参考数据：
，.
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名校
【推荐1】为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：
将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性.
（1）根据已知条件完成下面的
列联表，并据此资料我们能否有
的把握认为“歌迷”与性别有关？
（2）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.
附：
.
将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性.
（1）根据已知条件完成下面的
列联表，并据此资料我们能否有的把握认为“歌迷”与性别有关？（2）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.
附：
.
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名校
解题方法
【推荐2】新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：
已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为
.
（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？
（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.
附：
| 没有感染新冠病毒 | 感染新冠病毒 | 总计 | |
| 没有注射重组新冠疫苗 | 10 | x | A |
| 注射重组新冠疫苗 | 20 | y | B |
| 总计 | 30 | 30 | 60 |
已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为
.（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？
（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.
附：
 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【推荐3】2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最好的方式.某高校为了调查大学生居家的业余爱好，在“文学，音乐，美术”三门学科中“感到最喜欢的学科是什么？”这个问题时，从女大学生中，随机抽取了40人，从男大学中随机抽取了60人进行答题.女大学生答题情况是：喜欢文学的占
､选择音乐的占
､喜欢美术的占.男大学生答题情况是：选择喜欢文学的占
､喜欢音乐的占､喜欢美术的占.
(1)请根据以上调查结果将下面列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为“喜欢文学”与否与性别有关；
(2)从被调查的“不喜欢文学”的女大学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽任取2人，求2人中有“喜欢美术”的学生的概率.
附：，其中.
､选择音乐的占､喜欢美术的占.男大学生答题情况是：选择喜欢文学的占､喜欢音乐的占､喜欢美术的占.(1)请根据以上调查结果将下面
列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为“喜欢文学”与否与性别有关；| 文学 | 其他学科 | 合计 | |
| 女大学生 | |||
| 男大学生 | |||
| 合计 | 100 |
附：
，其中. | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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适中
(0.65)
名校
解题方法
【推荐1】已知对某校的100名学生进行不记名问卷调查，内容为一周的课外阅读时长和性别等进行统计，如表：
（1）课外阅读时长在20以下的女生按分层抽样的方式随机抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求这2人课外阅读时长不低于15的概率；
（2）将课外阅读时长为25以上的学生视为“阅读爱好”者，25以下的学生视为“非阅读爱好”者，根据以上数据完成2×2列联表：
能否在犯错概率不超过0.01的前提下，认为学生的“阅读爱好”与性别有关系？
附：
，
（1）课外阅读时长在20以下的女生按分层抽样的方式随机抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求这2人课外阅读时长不低于15的概率；
（2）将课外阅读时长为25以上的学生视为“阅读爱好”者，25以下的学生视为“非阅读爱好”者，根据以上数据完成2×2列联表：
| 非阅读爱好者 | 阅读爱好者 | 总计 | |
| 女生 | |||
| 男生 | |||
| 总计 |
能否在犯错概率不超过0.01的前提下，认为学生的“阅读爱好”与性别有关系？
附：
， | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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(0.65)
解题方法
【推荐2】清明节是我国的传统节日，某企业计划在清明节组织员工活动，准备从“参观烈士陵园”和“植树”两个活动方案中确定一个，为此随机调查了200名员工，让他们选择自己倾向的活动方案，调查结果按照员工的年龄分类，得到下面的列联表：
(1)求倾向植树的员工中年龄在35岁以下的概率；
(2)是否有99%的把握认为该公司员工对清明节活动的倾向与年龄有关？
附：
．
参观烈士陵园 | 植树 | |
35岁以下的员工 | 34 | 66 |
35岁及以上的员工 | 56 | 44 |
(2)是否有99%的把握认为该公司员工对清明节活动的倾向与年龄有关？
附：
．
| 0.1 | 0.05 | 0.01 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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适中
(0.65)
【推荐3】为推动实施健康中国战略，树立大卫生、大健康理念，某单位组织职工参加“万步有约”健走激励大赛活动，每月评比一次，对该月内每日运动都达到一万步及以上的职工授予该月“健走先锋”称号，其余参与的职工均获得“健走之星”称号，
(1)现从该单位参加活动的职工中随机抽查70人，调查获得“健走先锋”称号与性别的关系，统计结果如下：
能否据此判断有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关？
(2)根据（1）中的表格，将样本的频率视为概率，现从该单位职工中随机抽取3人进行调查，记X为这3人中是获得“女员工健走之星”的人数，求X的分布列与数学期望.
（其中）
(1)现从该单位参加活动的职工中随机抽查70人，调查获得“健走先锋”称号与性别的关系，统计结果如下：
健走先锋 | 健走之星 | |
男员工 | 24 | 16 |
女员工 | 16 | 14 |
(2)根据（1）中的表格，将样本的频率视为概率，现从该单位职工中随机抽取3人进行调查，记X为这3人中是获得“女员工健走之星”的人数，求X的分布列与数学期望.
（其中）
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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解答题-问答题
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(0.65)
名校
解题方法
【推荐1】数字经济的发展需要
、云计算、大数据及物联网等新型基础设施的支撑，作为新基建之首，对我国数字经济的发展有着重要的意义．技术在我国已经进入高速发展阶段，宽带业务办理量也逐渐上升．某营业厅统计了2021年7月至2022年1月宽带业务办理量（单位：单），如表所示：
(1)由表中数据可知，可用线性回归模型拟合与之间的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0．01）；
(2)求出关于的线性回归方程，并估计该营业厅2022年4月的宽带业务办理量．
参考数据：
，
，
．
参考公式：相关系数
，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，．
、云计算、大数据及物联网等新型基础设施的支撑，作为新基建之首，对我国数字经济的发展有着重要的意义．技术在我国已经进入高速发展阶段，宽带业务办理量也逐渐上升．某营业厅统计了2021年7月至2022年1月宽带业务办理量（单位：单），如表所示：时间 | 2021年7月 | 2021年8月 | 2021年9月 | 2021年10月 | 2021年11月 | 2021年12月 | 2022年1月 |
月份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 290 | 330 | 360 | 440 | 480 | 520 | 590 |
与之间的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0．01）；(2)求出
关于的线性回归方程，并估计该营业厅2022年4月的宽带业务办理量．参考数据：
，，．参考公式：相关系数
，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
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【推荐2】“双十一”期间，某淘宝店主对其商品的上架时间（分钟）和销售量（件）的关系作了统计，得到如下数据：
经计算：
，
，
，
.
(1)该店主通过作散点图，发现上架时间与销售量线性相关，请你帮助店主求出上架时间与销售量的线性回归方程（保留三位小数），并预测商品上架1000分钟时的销售量；
(2)从这组数据
中任选组，设
且
的数据组数为
，求的分布列与数学期望.
附：线性回归方程公式：， 
.
（分钟）和销售量（件）的关系作了统计，得到如下数据：上架时间 | 94 | 100 | 114 | 120 | 124 | 127 | 133 | 136 | 138 | 142 | 147 |
销售量 | 335 | 352 | 376 | 393 | 400 | 404 | 418 | 420 | 422 | 436 | 444 |
，，，.(1)该店主通过作散点图，发现上架时间与销售量线性相关，请你帮助店主求出上架时间与销售量的线性回归方程（保留三位小数），并预测商品上架1000分钟时的销售量；
(2)从这
组数据中任选组，设且的数据组数为，求的分布列与数学期望.附：线性回归方程公式：
， .
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解题方法
【推荐3】某校成立了生物兴趣小组，该兴趣小组为了探究一定范围内的温度x与豇豆种子发芽数y之间的关联，在5月份进行了为期一周的实验，实验数据如下表：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中任选5组数据建立y关于x的线性回归方程，并用该方程对剩下的2组数据进行检验．
(1)若选取的是星期一、二、三、六、日这5天的数据，则求出y关于x的线性回归方程；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
．
| 日期 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期日 |
| 温度x℃ | 20 | 21 | 23 | 15 | 25 | 17 | 19 |
| 发芽数y个 | 25 | 27 | 30 | 19 | 31 | 21 | 22 |
(1)若选取的是星期一、二、三、六、日这5天的数据，则求出y关于x的线性回归方程；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，．
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