以O为原点,所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设,点F的坐标为,,点G的坐标为.
(1)求关于t的函数的表达式,判断函数的单调性(不需要证明);
(2)设的面积,若以O为中心,F为焦点的椭圆经过点G,求当取得最小值时椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,若点P的坐标为,C、D是椭圆上的两点,且,求实数的取值范围.
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(2)设的面积,若以O为中心,F为焦点的椭圆经过点G,求当取得最小值时椭圆的方程;
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更新时间:2022-05-06 08:33:15
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【推荐1】已知双曲线的右焦点为F,双曲线C上一点关于原点的对称点为,满足.
(1)求的方程;
(2)直线与坐标轴不垂直,且不过点及点,设与交于、两点,点关于原点的对称点为,若,证明:直线的斜率为定值.
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【推荐2】古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义:平面内,到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆,我们称之为阿波罗尼奥斯圆.已知点P到的距离是点P到的距离的2倍.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若点P与点Q关于点B对称,点,求的最大值;
(3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E,F两点,试问在x轴上是否存在点,使恒为定值?若存在,求出点M的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
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【推荐1】在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点为,,直线与椭圆交于,两点.已知周长的最大值为,且当,时,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设的面积为,若,求的取值范围.
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【推荐2】已知椭圆的离心率,过右焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆的左顶点,是椭圆上的不同两点(与不重合),直线 的斜率分别为,且,证明直线过一个定点,并求出这个定点的坐标.
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【推荐1】已知椭圆过点,过右焦点且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长是1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点分别是椭圆的左,右顶点,过点的直线与椭圆交于两点(与不重合),证明:直线和直线交点的横坐标为定值.
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【推荐2】已知椭圆E的中心是坐标原点O,焦点在y轴上,离心率等于,F是椭圆E的上焦点,点P在第一象限,点P和点都在椭圆E上,且的面积等于,A、B是椭圆E上异于P的不同的动点,且.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求证:直线的斜率是定值.
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【推荐3】历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年-325年),大约100年后,阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质:如图甲,从椭圆的一个焦点出发的光线或声波,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线,如图乙,椭圆C的中心在坐标原点,焦点为,由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为.利用椭圆的光学性质解决以下问题 :
(1)求椭圆C的离心率;
(2)点P是椭圆C上除顶点外的任意一点,椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上,求椭圆C的方程.
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【推荐1】已知椭圆的两个焦点分别为,长轴长为,是椭圆上的任意一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围;
(3)设椭圆的左,右顶点分别为,直线交直线于点,连接,直线与椭圆的另一个交点为.试判断直线是否过定点,若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
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【推荐2】已知椭圆的左右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上一点,为椭圆长轴上一点,求的最大值与最小值;
(3)设是椭圆外的动点,满足,点是线段与该椭圆的交点,点在线段上,并且满足,,求点的轨迹方程.
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