【推荐1】已知二次函数在区间上有最大值，试求实数b的值．

【推荐2】已知函数，．
（1）当时，求的最大值和最小值；
（2）若在区间上的最大值为，求实数的值．

【推荐3】第 19 届亚运会 2023 年 9 月在杭州市举办，本届亚运会以 “绿色、智能、节俭、文明” 为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速 发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知 该种设备年固定研发成本为 50 万元，每生产一万台需另投入 80 万元，设该公司一年内生产该设备 万台且全部售完. 当 时，每万台的年销售收入   （万元） 与年产量 （万台）满足关系式: ; 当 时，每万台的年销售收入   （万元）与年产量 （万台）满足关系式:
(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大? 并求最大利润.

【推荐1】如图，已知四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱上的动点.
（1）求四棱锥的表面积；
（2）是否在棱上存在一点，使得平面；若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图，四棱锥中，侧面底面ABCD，，，，，E，F分别是SC和AB的中点，．

(1)证明：平面SAD；
(2)点P在棱SA上，当与底面所成角为时，求二面角的正弦值．

【推荐3】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧棱平面，且，，为棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【推荐1】如图（1）中，，，，分别是与的中点，将沿折起连接与得到四棱锥（如图（2）），为线段的中点.

（1）求证：平面；
（2）当四棱锥体积最大时，求直线与平面所成的角的正弦值.

【推荐2】如图，在四棱柱中，四边形为菱形，四边形为矩形，，，，二面角的大小为，分别为BC，的中点.
   
(1)求证：；
(2)求直线与平面BCN所成角的正弦值.

【推荐3】在如图1所示的梯形ABCD中，已知，E为BC的中点，将△DEC沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，且此时的体积最大.

(1)证明：平面⊥平面.
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐1】空间四边形被一平面所截，、、、分别在、、、上，截面是矩形．

(1)求证：平面；
(2)求异面直线、所成的角．

【推荐2】如图，空间四边形ABCD的对棱AD，BC成角，且，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于点E，F，G，H．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．
（2）点E在AB的何处时，截面EFGH的面积最大？

【推荐3】如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，四条侧棱长均为．点分别是棱上共面的四点，平面．

（1）证明：
（2）若，且二面角大小为,求与平面所成角的正弦值．