组卷网 > 高中数学综合库 > 函数与导数 > 函数及其性质 > 函数的基本性质 > 函数的单调性 > 定义法判断或证明函数的单调性
题型:解答题-证明题 难度:0.4 引用次数:624 题号:17688426
已知函数(常数).
(1)若,且,求的值;
(2)若,用函数单调性定义证明:函数上是严格增函数;
(3)当为奇函数时,存在使得不等式成立,求实数的取值范围.

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(1)
(2)
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1.我们知道,正弦函数和余弦函数的定义域均为,故函数的定义域为.
2.我们知道,正弦函数为奇函数,余弦函数为偶函数,对,可得:函数为偶函数.
3.我们知道,正弦函数和余弦函数的最小正周期均为,对,可知为该函数的周期,是否是最小正周期呢?我们继续探究:.可得:也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢?我们来研究在区间上的单调性,在区间上,余弦函数单调递减,正弦函数上单调递增,在上单调递减,故我们需要分这两个区间来讨论.当时,设,因正弦函数上单调递增,故,令,可得,而在区间上,余弦函数单调递减,故:即:从而,时,函数单调递减.同理可证,时,函数单调递增.可得,函数上单调递减,在上单调递增.结合.可以确定:的最小正周期为.这样,我们可以求出该函数的值域了:显然:,而,故的值域为,定义函数为“余正弦”函数,根据阅读材料的内容,解决下列问题:
(1)求该函数的定义域;
(2)判断该函数的奇偶性;
(3)探究该函数的单调性及最小正周期,并求其值域.
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