【推荐1】已知双曲线的离心率为，上焦点到其中一条渐近线的距离为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线交双曲线上支于，两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知双曲线的右焦点，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.

【推荐3】如图，已知双曲线的离心率，顶点为和，设P为该双曲线上异于顶点的任一点．
   
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线的斜率分别为，证明：；
(3)若的最大内角为，求点P的坐标．

【推荐1】已知等轴双曲线经过点，过原点且斜率为的直线与双曲线交于、两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设为双曲线上异于、的任意一点，且、的斜率、均存在，证明为定值；
(3)已知点，求最小时的值.

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，且过点．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设过原点O的直线在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值．

【推荐3】（1）求与共渐近线且焦距为8的双曲线方程；
（2）定点到上的点最近距离为，求，并求双曲线上到点距离为的点的坐标.

【推荐1】已知等轴双曲线：的虚轴长为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的右焦点的直线与双曲线的右支交于A，B两点，请问轴上是否存在一定点P，使得?若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图，某野生保护区监测中心设置在点处，正西、正东、正北处有三个监测点，且，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒（注：信号每秒传播千米）.

（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
（2）若已知点与点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心的距离；
（3）若点监测点信号失灵，现立即以监测点为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径至少是多少公里？

【推荐3】已知双曲线过点，左右焦点分别为，且．
(1)求的标准方程．
(2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为3，且点在圆：上．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．直线：交椭圆于，两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求实数的取值范围．

【推荐2】如图所示，曲线是以坐标原点为顶点，轴为对称轴的抛物线，且焦点在轴正半轴上，圆．过焦点且与轴平行的直线与抛物线交于两点，且．

（1）求抛物线的标准方程；
（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围．

【推荐3】已知定点，定直线，动点到点的距离比点到的距离小1.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点的直线与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若，求直线的斜率的取值范围.