【推荐1】已知数列满足，.
（1）求，，，的值；
（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）已知，设，记，求.

【推荐2】在数列中，已知，．
（1）若（k为常数），，求k；
（2）若．①求证：数列为等比数列；②记，且数列的前n项和为，若为数列中的最小项，求的取值范围．

【推荐3】已知数列（n是正整数），与数列（n是正整数）．记．
(1)若，求r的值；
(2)求证：当n是正整数时，；
(3)已知，且存在正整数m，使得在中有4项为100，求r的值，并指出哪4项为100．

【推荐1】已知数列的各项均为正数，，．
(1)若，证明：；
(2)若，证明：当取得最大值时，．

【推荐2】设数列 中，若 ，则称数列为“凸数列”．
（Ⅰ）设数列为“凸数列”，若 ，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（Ⅱ）在“凸数列”中，求证： ；
（Ⅲ）设，若数列为“凸数列”，求数列前n项和 ．

【推荐3】已知正项数列满足：，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设为数列的前n项和，证明：.

【推荐1】设为关于n的k次多项式．数列的首项，前n项和为．对于任意的正整数n，都成立．
（1）若，求证：数列是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k，使得数列能成等差数列.

【推荐2】设数列的各项为正数，且，数列满足：对任意恒成立，且常数.
（1）若为等差数列，求证：也为等差数列；
（2）若，为等比数列，求的值（用c表示）；
（3）若且，令，求证.

【推荐3】一计算装置有一数据入口A和运算结果的出口B，将正整数列中的各数依次输入A口，从B口得到数列．结果表明：①从A口输入时，从B口得到．②当时，从A口输入，从B口得到的结果是将前一结果先乘以正整数列中的第个奇数，再除以正整数列中的第个奇数．
(1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？
(2)猜测并证明当入口A输入正整数列时，从B口得到数列的通项公式．
(3)为了满足计算需要，工程师对装置进行了改造，使B口出来的数据依次进入口进行调整，结果为一列数据．若使，问非零常数、满足什么关系式，才能使口所得数列为等差数列？

【推荐1】已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一无理数列（即对任意的，为无理数）.
（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式.
（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为.
（3）已知，，对任意的，恒成立，试计算.

【推荐2】若数列满足：，且，则称为一个X数列. 对于一个X数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列.
(1)若X数列中，，，，写出其伴随数列中的值；
(2)若为一个X数列，为的伴随数列.
①证明：“为常数列”是“为等比数列”的充要条件；
②求的最大值.