【推荐1】已知椭圆：的右顶点，且点在椭圆上，、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过原点的直线交圆于、，直线、分别交椭圆于、，求与的面积之比的取值范围.

【推荐2】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上.
求椭圆的方程；
已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最大值.

【推荐3】已知为椭圆的左右焦点，O是坐标原点，过作垂直于x轴的直线交椭圆于，设 .
（1）证明： 成等比数列；
(2)若的坐标为，求椭圆C的方程；
（3）在(2)的椭圆中，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程．

【推荐1】已知椭圆：的离心率为，且过左焦点和上顶点的直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，且直线，，的斜率之和为0.求三角形面积的最大值.

【推荐2】已知椭圆C的焦点分别为F₁，F₂，长轴长为6，设直线交椭圆C于A，B两点.
(1)求线段 AB的中点坐标；
(2)求△OAB的面积.

【推荐3】已知椭圆：的离心率，左、右焦点分别为，，过右焦点任作一条直线，记与椭圆的两交点为，，已知的周长为定值.
（1）求椭圆的方程；
（2）记点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求面积的取值范围.

【推荐1】已知椭圆（）的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程
(2)分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点
①求证：；
②求证：定值.

【推荐2】已知椭圆的左､右顶点分别为，右焦点为，过的直线与交于两点.
（1）设和的面积分别为，若，求直线的方程；
（2）当直线绕点旋转时，求证：四边形的对边与所在直线的斜率的比值恒为常数.

【推荐3】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值.

【推荐1】已知双曲线的右顶点为，过作直线交双曲线的右支于，两点（点B在x轴上方）.
（1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
（2）若，求直线的斜率.

【推荐2】已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，过点的直线l与C交于M，N两点，△的周长为8，当直线l垂直于x轴时，
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)设椭圆C的右顶点为A，直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，当的面积是△AMN面积的5倍时，求直线l的方程.

【推荐3】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F为椭圆C的右焦点，A是右准线与x轴的交点，且AF＝1．

（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上顶点B的直线l交椭圆另一点D，交x轴于点M，若，求直线l的方程；
（3）设点，过点F且斜率不为零的直线m与椭圆C交于S，T两点，直线TQ与直线x＝2交于点S₁，试问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．