【推荐1】如图，中，角、、的对边分别为、、.
   
(1)若，求角的大小；
(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.

【推荐2】在中，角的对边分别为，若.
(1)求B的大小；
(2)若，求的面积.

【推荐3】的内角所对的边分别为,且.
（1）求角；
（2）若,且的面积为,求的值.

【推荐1】如图，在四棱锥中，，，，，．

   

(1)当时，求直线与平面所成角的大小；
(2)当二面角为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．

【推荐2】的内角的对边分别为，已知
（1）求；
（2）若，且的面积等于求的值.

【推荐3】在斜中,内角所对的边分别为,已知.
(1)证明: ；
(2)若的面积为边上的中点, ,求.

【推荐1】为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本 (单位：万元)与处理量 (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．
(1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？
(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

【推荐2】一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？

【推荐3】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系：，其中为能耗系数，.设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和，即.
(1)若建隔热层时，每年能源消耗费用为万元，求此时的值及的表达式；
(2)在第（1）问的条件下，隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值；
(3)在实际生产中，隔热层厚度（单位：）控制在之间，求总费用的最小值关于的函数.