脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量
（单位：亿元）与研发人员增量
（人）的10组数据.现用模型①
，②
分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图.
.
(1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
(2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）
附：对于一组具有线性相关关系的数据
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据.现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图.
. |  |  |  |  |  |
| 7.5 | 2.25 | 82.50 | 4.50 | 12.14 | 2.88 |
(1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
(2)根据（1）中所选模型，求出
关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）附：对于一组具有线性相关关系的数据
，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
更新时间：2024/08/01 12:24:08
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【推荐1】某地电影院为了了解当地影迷对快要上映的一部电影的票价的看法，进行了一次调研，得到了票价x(单位：元)与渴望观影人数y(单位：万人)的结果如下表：
(1)若y与x具有较强的相关关系，试分析y与x之间是正相关还是负相关；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(3)根据(2)中求出的线性回归方程，预测票价定为多少元时，能获得最大票房收入．
参考公式：
，
.
x(单位：元) | 30 | 40 | 50 | 60 |
y(单位：万人) | 4.5 | 4 | 3 | 2.5 |
(1)若y与x具有较强的相关关系，试分析y与x之间是正相关还是负相关；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(3)根据(2)中求出的线性回归方程，预测票价定为多少元时，能获得最大票房收入．
参考公式：
，.
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【推荐2】2017年11月、12月全国大范围流感爆发，为研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，一兴趣小组抄录了某医院11月到12月间的连续6个星期的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料:
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个星期的概率；
(2)若选取的是第一周与第六周的两组数据，请根据第二周到第五周的4组数据,求出关于的线性回归方程
；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
(参考公式:
)
参考数据：
，
.
| 日期 | 第一周 | 第二周 | 第三周 | 第四周 | 第五周 | 第六周 |
| 昼夜温差x(°C) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
| 就诊人数y(个) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个星期的概率；
(2)若选取的是第一周与第六周的两组数据，请根据第二周到第五周的4组数据,求出
关于的线性回归方程；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
(参考公式:
)参考数据：
，.
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【推荐3】经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的标准值变化情况如下表：
参考数据：
，
.
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程
；（
，
的值精确到0.01）
（2）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06~1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12~1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁老人，属于哪类人群？（注：0.9~1.06是指大于等于0.9小于1.06）
| 年龄x/岁 | 28 | 32 | 38 | 42 | 48 | 52 | 58 | 62 |
| 收缩压y/mmHg | 114 | 118 | 122 | 127 | 129 | 135 | 140 | 147 |
，.（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程
；（，的值精确到0.01）（2）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06~1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12~1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁老人，属于哪类人群？（注：0.9~1.06是指大于等于0.9小于1.06）
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【推荐1】发展扶贫产业，找准路子是关键，重庆市石柱土家族自治县中益乡华溪村不仅找准了路，还将当地打造成了种植中药材黄精的产业示范基地．通过种植黄精，华溪村村民的收入逐年递增．以下是2014年至2020年华溪村村民每户平均可支配收入的统计数据：
根据以上数据，绘制如图所示的散点图：
与
哪一个更适宜作为每户平均可支配收入（千元）关于年份代码的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并建立关于的回归方程（结果保留1位小数）；
(2)根据（1）建立的回归方程，试预测要到哪一年华溪村的每户平均可支配收入才能超过35（千元）；
参考数据：
其中
，
．
参考公式：线性回归方程
中，
，．
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
每户平均可支配收入 | 4 | 15 | 22 | 26 | 29 | 31 | 32 |
与哪一个更适宜作为每户平均可支配收入（千元）关于年份代码的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并建立关于的回归方程（结果保留1位小数）；(2)根据（1）建立的回归方程，试预测要到哪一年华溪村的每户平均可支配收入才能超过35（千元）；
参考数据：
|
|
|
|
|
|
22.7 | 1.2 | 759 | 235.1 | 13.2 | 8.2 |
其中
，．参考公式：线性回归方程
中，，．
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解题方法
【推荐2】红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦葵等植物．为了防治虫害，从根源上抑制害虫数量．现研究红铃虫的产卵数和温度的关系，收集到7组温度和产卵数的观测数据于表Ⅰ中．根据绘制的散点图决定从回归模型①
与回归模型②
中选择一个来进行拟合．
表Ⅰ
(1)请借助表Ⅱ中的数据，求出回归模型①的方程：
表Ⅱ（注：表中
）
(2)类似的，可以得到回归模型②的方程为
，试求两种模型下温度为
时的残差；
(3)若求得回归模型①的相关指数
，回归模型②的相关指数
，请结合（2）说明哪个模型的拟合效果更好．
参考数据：
.
附：回归方程
中
，
相关指数
.
和产卵数的观测数据于表Ⅰ中．根据绘制的散点图决定从回归模型①与回归模型②中选择一个来进行拟合．表Ⅰ
温度x/℃ | 20 | 22 | 25 | 27 | 29 | 31 | 35 |
产卵数y/个 | 7 | 11 | 21 | 24 | 65 | 114 | 325 |
表Ⅱ（注：表中
） |
|
|
|  |
189 | 567 | 25.27 | 162 | 78106 |
|
|
|
| |
11.06 | 3040 | 41.86 | 825.09 |
，试求两种模型下温度为时的残差；(3)若求得回归模型①的相关指数
，回归模型②的相关指数，请结合（2）说明哪个模型的拟合效果更好．参考数据：
.附：回归方程
中，相关指数
.
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解题方法
【推荐3】个人所得税是国家对本国公民、居住在本国境内的个人的所得和境外个人来源于本国的所得征收的一种所得税.我国在1980年9月10日，第五届全国人民代表大会第三次会议通过并公布了《中华人民共和国个人所得税法》.公民依法诚信纳税是义务，更是责任现将自2013年至2017年的个人所得税收入统计如下
并制作了时间代号x与个人所得税收入的如如图所示的散点图:
根据散点图判断，可用①y=menx与②
作为年个人所得税收入y关于时间代号x的回归方程，经过数据运算和处理，得到如下数据:
以下计算过程中四舍五入保留两位小数.
（1）根据所给数据，分别求出①，②中y关于x的回归方程；
（2）已知2018年个人所得税收入为13.87千亿元，用2018年的数据验证（1）中所得两个回归方程，哪个更适宜作为y关于时间代号x的回归方程?
（3）你还能从统计学哪些角度来进一步确认哪个回归方程更适宜? (只需叙述，不必计算)
附:对于一组数据
其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
并制作了时间代号x与个人所得税收入的如如图所示的散点图:
根据散点图判断，可用①y=menx与②
作为年个人所得税收入y关于时间代号x的回归方程，经过数据运算和处理，得到如下数据:以下计算过程中四舍五入保留两位小数.
（1）根据所给数据，分别求出①，②中y关于x的回归方程；
（2）已知2018年个人所得税收入为13.87千亿元，用2018年的数据验证（1）中所得两个回归方程，哪个更适宜作为y关于时间代号x的回归方程?
（3）你还能从统计学哪些角度来进一步确认哪个回归方程更适宜? (只需叙述，不必计算)
附:对于一组数据
其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
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解题方法
【推荐1】已知某校5个学生的数学和物理成绩如下：
（1）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩是具有很强的线性相关关系的，在上述表格中，用表示数学成绩，用表示物理成绩，求关于的回归方程．
（2）利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在
范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”．
（3）现从5名同学中任选两人参加访谈活动，求1号同学没被选中的概率.
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，.
学生的编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
数学成绩 | 80 | 75 | 70 | 65 | 60 |
物理成绩 | 70 | 66 | 68 | 64 | 62 |
表示数学成绩，用表示物理成绩，求关于的回归方程．（2）利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在
范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”．（3）现从5名同学中任选两人参加访谈活动，求1号同学没被选中的概率.
附：对于一组数据
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
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解题方法
【推荐2】甲､乙两名同学在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，得到如下数据.
甲发现表中散点集中在曲线
附近(其中
，
是参数，且
).他先设
，将表中数据进行转换，得到新的成对数据
(
，2，3，4，5)，再用一元线性回归模型
拟合；
乙根据数据得到线性回归方程为
.
（1）列出新的数据表(，2，3，4，5)，并求；
（2）求，；
（3）在统计学中，我们通常计算不同回归模型的残差平方和(残差平方和用
表示)来判断拟合效果，越小，拟合效果越好.乙同学计算出其模型的残差平方和为143.6，请你计算甲同学模型的残差平方和，并比较拟合效果.
(参考公式：
，
.)
| 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| 4 | 12 | 24 | 50 | 72 |
附近(其中，是参数，且).他先设，将表中数据进行转换，得到新的成对数据(，2，3，4，5)，再用一元线性回归模型拟合；乙根据数据得到线性回归方程为
.（1）列出新的数据表
(，2，3，4，5)，并求；（2）求
，；（3）在统计学中，我们通常计算不同回归模型的残差平方和(残差平方和用
表示)来判断拟合效果，越小，拟合效果越好.乙同学计算出其模型的残差平方和为143.6，请你计算甲同学模型的残差平方和，并比较拟合效果.(参考公式：
，.)
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，计算
；
解答题-应用题
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解题方法
【推荐1】某公司为确定投入A款产品的年研发费用，需了解年研发费用x（单位：万元）对年利润y（单位：万元）的影响该公司统计了最近8年每年投入A款产品的年研发费用与年利润的数据，得到如右所示的散点图：
经数据分析知，y与x正线性相关，且相关程度较高经计算得，
．；（
）
(2)若该公司对A款产品欲投入的年研发费用为30万元，根据（1）得到的经验回归方程，预测年利润为多少万元？
经数据分析知，y与x正线性相关，且相关程度较高经计算得，
．
；（）(2)若该公司对A款产品欲投入的年研发费用为30万元，根据（1）得到的经验回归方程，预测年利润为多少万元？
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【推荐2】研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，工业和信息化部在2022年新能源汽车推广应用中提出了财政补贴政策后，某新能源汽车公司的销售量逐步提高，如图是该新能源汽车公司在2022年1~5月份的销售量y（单位：万辆）与月份x的折线图．
(1)依据折线图计算x，y的相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系；（若
，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）
(2)请建立y关于x的线性回归方程，并预测2022年8月份的销售量．
参考数据及公式：
，相关系数
，
在线性回归方程中，
．
(1)依据折线图计算x，y的相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系；（若
，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）(2)请建立y关于x的线性回归方程，并预测2022年8月份的销售量．
参考数据及公式：
，相关系数，在线性回归方程
中，．
您最近一年使用：0次
保留2位有效数字）；
， 
