【推荐1】法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为.

（1）求椭圆和其“伴随圆”的方程；
（2）若点是椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围；
（3）在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线､，使得､与椭圆都只有一个交点，试判断､是否垂直?并说明理由.

【推荐2】已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为为垂直于轴的动直线.

(1)当时，设直线交椭圆于两点，直线的斜率之积为，且的周长最大值为，求椭圆方程；
(2)在第（1）问条件下，将直线移动至处，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，直线分别交椭圆于点，试探究直线是否经过定点，若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆 经过点，且离心率等于． 
（1）求椭圆的方程； 
（2）若直线与椭圆交于两点，与圆交于两点．若，试求的取值范围．

【推荐1】已知椭圆的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于A点，交x轴负半轴于B点，与椭圆C的另一个交点为E，且，点Q是P关于x轴的对称点，直线与椭圆C的另一个交点为.
（ⅰ）证明：直线，的斜率之比为定值；
（ⅱ）求直线的斜率的最小值．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，点A，B，C分别为的上，左，右顶点，且.
(1)求的标准方程；
(2)点D为线段上异于端点的动点，过点D作与直线平行的直线交于点P，Q，求的最大值.

【推荐3】如图，已知椭圆的左、右两个焦点分别为设，若为正三角形且周长为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，是否存在实数使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若过点的直线与椭圆相交于不同的两点两点，记的面积记为，求的取值范围.

【推荐1】如图，为椭圆的左顶点，过的直线交抛物线于、两点，是的中点.

（1）求证：点的横坐标是定值，并求出该定值；
（2）若直线过点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于、两点，求的值，使得的面积最大.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，，交轴于点，为线段的中点，且为垂足.问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为为椭圆上一点，与轴交于点，
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于两点，过作与轴垂直的直线，试问轴上是否存在定点，使得直线与直线交点的横坐标为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.