【推荐1】已知中心为坐标原点、焦点在坐标轴上的椭圆经过点和点，直线：与椭圆交于不同的，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上存在点，使得四边形恰好为平行四边形，求直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值以及此时，的值.

【推荐2】已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且为的上顶点．
(1)求的标准方程；
(2)设斜率存在且经过原点的直线l交于两点，直线与异于点A的另一交点分别为点M，N，求的取值范围．

【推荐3】平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点．
①若直线过椭圆的右焦点，记三条边所在直线的斜率的乘积为，求的最大值；
②若直线的斜率为，试探究是否为定值，若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AP、BQ的斜率分别为、，且.求证：直线PQ经过定点.

【推荐2】已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为，且，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足，求．

【推荐3】椭圆的离心率是，过点作斜率为的直线，椭圆与直线交于两点，当直线垂直于轴时．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，是以为底边的等腰三角形，求的值．

【推荐1】已知椭圆的方程为：，其焦点在轴上，离心率.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？
若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知直线l过点P（1，0），与椭圆C：交于A，B两点，且直线l不与椭圆C的对称轴垂直．
(1)若直线l的斜率为1，M（，－）为线段AB的中点，求的值；
(2)若，点Q（16，0），当l变化时，直线AQ，BQ的斜率总是互为相反数，求C的方程．

【推荐3】已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．
(1)求C的离心率；
(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：．

【推荐1】如图，一个底面落在平面上的圆柱形水桶（高度不限），被一个与其底面所成角为的平面所截，在平面内的截面图形是一条圆锥曲线，若以圆锥曲线的中心为坐标原点，焦点所在直线为轴建立平面直角坐标系，且曲线上最远两点间的距离为8，，是平面内过点且互相垂直的两条直线，交E于，两点，交于，两点，线段，的中点分别为，.

(1)求在平面上的圆锥曲线的标准方程；
(2)求直线的斜率的取值范围；
(3)求的取值范围．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，
(1)若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于、两点，
①当时，求的值；
②对于椭圆上任一点，若，求实数、满足的关系式.

【推荐3】已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求面积的最大值.