某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，AB=4，O为AB的中点，椭圆的焦点P在对称轴OD上，M、N在椭圆上，MN平行AB交OD与G，且G在P的右侧，△MNP为灯光区，用于美化环境.
(1)若学校的另一条道路EF满足OE=3，tan∠OEF=2，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于
，求半椭圆形的小湖的最大面积：(椭圆
(
)的面积为
)
(2)若椭圆的离心率为，要求灯光区的周长不小于
，求PG的取值范围.
(1)若学校的另一条道路EF满足OE=3，tan∠OEF=2，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于
，求半椭圆形的小湖的最大面积：(椭圆()的面积为)(2)若椭圆的离心率为
，要求灯光区的周长不小于，求PG的取值范围.
更新时间：2019-01-11 09:16:59
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名校
解题方法
【推荐1】已知从椭圆
上一点
向
轴作垂线，垂足恰为左焦点
，设椭圆的离心率为
，左、右顶点分别为
，
，且
，
.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点
且斜率为
的直线与椭圆交于
，
两点.若
，求的值.
上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且，.(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点
且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.
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解答题-证明题
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【推荐2】椭圆方程
，平面上有一点
．定义直线方程
是椭圆
在点处的极线．已知椭圆方程
．
(1)若
在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；
(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；
(3)若过点
分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为
，
，割线交椭圆于
，
两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点
．证明：，，三点共线．
，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．(1)若
在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；(2)若
在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；(3)若过点
分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．
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＋
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，左、右顶点分别为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C.
＝λ
，求λ的取值范围．
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解题方法
【推荐1】如图，椭圆
的左、右焦点分别为、，
，点A为椭圆C上异于左右顶点的任意一点，A关于原点O的对称点为B，
，且
．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若
是A关于x轴的对称点，设点
，连接NA，直线NA与椭圆C相交于点E，直线
与x轴相交于点M，求点M的坐标．
的左、右焦点分别为、，，点A为椭圆C上异于左右顶点的任意一点，A关于原点O的对称点为B，，且．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若
是A关于x轴的对称点，设点，连接NA，直线NA与椭圆C相交于点E，直线与x轴相交于点M，求点M的坐标．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】已知椭圆
，过焦点
的直线
与椭圆交于
两点.当与轴垂直时，
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点关于轴的对称点为
，直线
，
与轴分别交于
两点，当
时，求
与
的积.
，过焦点的直线与椭圆交于两点.当与轴垂直时，.(1)求椭圆
的方程；(2)设点
关于轴的对称点为，直线，与轴分别交于两点，当时，求与的积.
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，O为坐标原点．
·
＝m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．
【推荐1】阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：
，则称点P(
，
)和直线l：
是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以
替换
，以
替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为
；对于双曲线
，与点P(，)对应的极线方程为
；对于抛物线
，与点P(，)对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C：
经过点P(4，0)，离心率是
，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；
(2)已知Q是直线l：
上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当
时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：
，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C：
经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；(2)已知Q是直线l：
上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
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解题方法
【推荐2】已知椭圆的离心率为
，以
为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点
，和平面内一点
，过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为
，
，试求m，n满足的关系式．
的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点
，和平面内一点，过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为，，试求m，n满足的关系式．
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，左、右顶点分别为
，上顶点为B，且
．
且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交于点Q，与直线
相交于点P，与y轴相交于点M，且
．求k的值．
