【推荐1】已知点是圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足，当点运动时，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线恒有两个交点、，且（为坐标原点），并求出该圆的方程.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，且圆与轴交于，两点（在的左侧），若直线：（）与圆相交于，两点.
(1)若，求实数的值；
(2)设直线与直线交于点，记直线，直线，直线的斜率分别为，，，求的值.

【推荐1】已知椭圆：的离心率为，点，，椭圆的右顶点满足.
(1)求椭圆上一点到点的最小距离；
(2)若经过点的直线交椭圆于，两点，证明：当直线的倾斜角任意变化时，总存在实数，使得.

【推荐2】已知椭圆，设过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点.

(1)求的最小值；
(2)记直线的斜率分别为，问是否存在的某种排列（其中），使得成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知曲线，直线经过点与相交于、两点.

(1)若且，求证：必为的焦点；
(2)设，若点在上，且的最大值为，求的值；
(3)设为坐标原点，若，直线的一个法向量为，求面积的最大值.

【推荐2】如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆：（）的离心率，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为坐标原点，点，是椭圆上的两个动点，且，证明：直线恒与圆：相切．

【推荐1】已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线且与椭圆交于两点，且，试求直线的斜率，并求的取值范围.

【推荐2】已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于点A,B，线段AB的中点的横坐标为，且（其中）.
（1）点在上且直线的斜率的取值范围是，试求直线斜率的取值范围；
（2）求实数的值.

【推荐3】动点到点的距离与到直线的距离的比值为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与点的轨迹交于两点，，设点，到直线的距离分别为，，当时，求直线的方程．