已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，设
，
.
（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；
（Ⅱ）若
，，求实数
的最小值；
（Ⅲ）当
时，给出一个新数列
，其中
，设这个新数列的前项和为
，若可以写成
（
，
且
，
）的形式，则称为“指数型和”.问
中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.
的前项和为，且满足，，设，.（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；（Ⅱ）若
，，求实数的最小值；（Ⅲ）当
时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成（，且，）的形式，则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.
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（已下线）专题10 数列通项公式的求法 微点1 观察法（不完全归纳法）、公式法上海市2022届高三模拟(三)数学试题2020届上海市高三高考压轴卷数学试题上海市浦东新区建平中学2019-2020学年高三下学期（4月）模拟数学试题北京市陈经纶中学2019-2020学年第一学期高二数学期中试题2015届北京市东城区高三5月综合练习二理科数学试卷
更新时间：2020-03-24 15:30:28
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【推荐1】已知数列
满足：
，
. （其中
为自然对数的底数，
）
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）设
，是否存在实数
，使得
对任意
成立？若存在，求出
的一个值；若不存在，请说明理由.
满足：，. （其中为自然对数的底数，）（Ⅰ）证明：
；（Ⅱ）设
，是否存在实数，使得对任意成立？若存在，求出的一个值；若不存在，请说明理由.
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解答题-证明题
|
困难
(0.15)
【推荐2】若数列在某项之后的所有项均为一常数，则称是“最终常数列”.已知对任意
，函数
和数列满足
.
(1)当
时，证明：是“最终常数列”；
(2)设数列满足
，对任意正整数
.若方程
无实根，证明：不是“最终常数列”的充要条件是：对任意正整数
，
；
(3)若
不是“最终常数列”，求
的取值范围.
在某项之后的所有项均为一常数，则称是“最终常数列”.已知对任意，函数和数列满足.(1)当
时，证明：是“最终常数列”；(2)设数列
满足，对任意正整数.若方程无实根，证明：不是“最终常数列”的充要条件是：对任意正整数，；(3)若
不是“最终常数列”，求的取值范围.
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，
（
，
）．对任意正整数
，记
，
．
，
；
时，求证：数列
；
解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】若定义在
上的函数
满足：对于任意实数
、
，总有
恒成立.我们称为“类余弦型”函数.
（1）已知为“类余弦型”函数，且
，求
和
的值.
（2）在（1）的条件下，定义数列
求
的值.
（3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有
，证明：函数为偶函数；设有理数
，
满足
，判断
和
的大小关系，并证明你的结论.
上的函数满足：对于任意实数、，总有恒成立.我们称为“类余弦型”函数.（1）已知
为“类余弦型”函数，且，求和的值.（2）在（1）的条件下，定义数列
求的值.（3）若
为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，证明：函数为偶函数；设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.
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【推荐2】已知数列
的首项
.
（1）求证：
是等比数列，并求出的通项公式；
（2）证明：对任意的
；
（3）证明：
.
的首项.（1）求证：
是等比数列，并求出的通项公式；（2）证明：对任意的
；（3）证明：
.
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，数列
，其中
的值；
，使得
若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．
解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐1】已知数列是等差数列，数列
是等比数列，且
，
的前n项和为.若
对任意的
恒成立.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列
满足
问：是否存在正整数
，使得
，若存在求出的值，若不存在，说明理由；
（3）若存在各项均为正整数､公差为
的无穷等差数列
，满足
，且存在正整数
，使得
成等比数列，求的所有可能的值.
是等差数列，数列是等比数列，且，的前n项和为.若对任意的恒成立.（1）求数列
，的通项公式；（2）若数列
满足问：是否存在正整数，使得，若存在求出的值，若不存在，说明理由；（3）若存在各项均为正整数､公差为
的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使得成等比数列，求的所有可能的值.
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐2】已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*．
（Ⅰ）求a1的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．
（Ⅰ）求a1的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．
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的“倒平均数”为
．已知数列
前
，记
．
与
的大小；
，对（1）中的数列
，是否存在实数
，使得当
时，
对任意
恒成立？若存在，求出最大的实数
满足
，且
，
且
，且
为
．
解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐1】已知数列．给出两个性质：
①对于中任意两项
，在中都存在一项
，使得
；
②对于中任意连续三项
，均有
．
(1)分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由：
（i）有穷数列：
；
（ⅱ）无穷数列：
．
(2)若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；
(3)若数列满足性质①和性质②，且
，求的通项公式．
．给出两个性质：①对于
中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于
中任意连续三项，均有．(1)分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由：
（i）有穷数列
：；（ⅱ）无穷数列
：．(2)若有穷数列
满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；(3)若数列
满足性质①和性质②，且，求的通项公式．
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【推荐2】已知数列A：
的各项均为正整数，设集合
，记T的元素个数为
．
（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值；
（2）若A是递增数列，求证：“
”的充要条件是“A为等差数列”；
（3）若
，数列A由
这
个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数．
的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出
的值；（2）若A是递增数列，求证：“
”的充要条件是“A为等差数列”；（3）若
，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数．
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，
，都存在正整数
”，则称数列
”.
的无穷等比数列
的无穷等差数列
的值.
