【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过坐标原点和点，顶点为点．
（1）求抛物线的关系式及点的坐标；
（2）点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求点的坐标；
（3）将直线向下平移，得到过点的直线，且与轴负半轴交于点，取点，连接，求证：．

【推荐2】综合与探究
如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．
   
(1)求抛物线解析式；
(2)当，t的值为___________；
(3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值；
(4)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在一次高尔夫球比赛中，小明从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度10m时，球移动的水平距离为8m．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，OC=12m．
（1）求点A的坐标；
（2）求球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．

【推荐2】如图，已知的半径长为1，是的两条弦，且，的延长线交于点D，连接．

（1）求证：
（2）当是直角三角形时，求B、C两点的距离．
（3）记的面积分别为、、，如果是和的比例中项，求的长．

【推荐3】定义：平面直角坐标系中有点，若点满足且，则称P是Q的“t矩内点”．
(1)①点的“2矩内点”所组成的图形面积是       ；
②反比例函数图象上        （填“存在”或者“不存在”）点的“1矩内点”．
(2)直线经过点，在其图像上，点的“2矩内点”组成的线段长为，求b的值．
(3)关于x的二次函数（k是常数），将它的图象M绕原点O逆时针旋转曲线L，若M与L上都存在的“1矩内点”，直接写出k的取值范围．

【推荐1】如图所示，抛物线经过点，点，与轴交于点，连接，．点是线段上不与点、重合的点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为点．设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
（3）试探究是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，将直线沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线于点D，是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知二次函数y=ax²+bx-3经过A（-1,0），B（3,0）两点，
（1）求二次函数解析式及对称轴方程；
（2）连接BC，交对称轴于点E，求E点坐标；
（3）在y轴上是否存在一点M，使△BCM为等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）在第四象限内抛物线上是否存一点H，使得四边形ACHB的面积最大，若存在，求出点H坐标，若不存在，说明理由．