【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，试求CD的长.

【推荐2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D是边AC上一点（不与点 A、C重合），EF垂直平分BD，分别交边AB、BC于点E、F，联结DE、DF．

(1)如图1，当BD⊥AC时，求证：EF=AB；
(2)如图2，设CD=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当BE=BF时，求线段CD的长．

【推荐3】在△ABC中，AB=AC，在△ABC的外部作等边△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F.

(1)如图1，连接BD，若∠BAC=100°，求∠BDF的度数；
(2)如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN.若BN=DN，求证：MB=MN.

【推荐1】问题解决：

(1)如图，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，则的面积最大值是        ．
(2)如图，在扇形中，，，点分别在和上，且，是的中点，点在弧上．连接，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
(3)如图，四边形中，，，，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为___________度．
   
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
∵四边形是的内接四边形，
∴．
，
∴．
∵是等边三角形．
∴，
∴
请你补全余下的证明过程．
【延申】如图③，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．则、、之间满足什么关系？证明你的结论．
【应用】如图④，是的外接圆，，，点P在上，且点P是上一点，连结、、．若，则的值为___________．

【推荐3】如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．

（1）连接BD，OE．求证：BD＝OE；
（2）连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．

【推荐2】如图，在中，，，，是边上不与点、重合的任意一点，，垂足为点，是的中点．

(1)求证：；
(2)如果设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当的面积为时，求的值．

【推荐3】已知：和均为等腰直角三角形，，，，按图1放置，使点在上，取的中点，连接，．我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．

(1)观察发现：图1中，的数量关系是________，位置关系是________；
(2)探究证明：将图1中的绕点顺时针转动，再连接，取的中点（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)拓展延伸：将图1中的绕点转动任意角度（转动角度在到之间），再连接，取的中点（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．

【推荐1】如图，抛物线交轴于，交轴于是第一象限内抛物线上的一个动点．
     
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，相交于点，令，当的值最大时，求点的坐标；
(3)如图，抛物线的对称轴与轴交于点，直线分别与对称轴交于点，与的面积分别为．设点的横坐标为，当时，的值是否变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由．

【推荐2】某班数学兴趣小组进行了如下探究：（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交点为P，过点P作PQ⊥BC于点Q，连结DQ交AC于点P₁，过点P₁作P₁Q₁⊥BC于点Q₁，已知AB=CD=a，则PQ=       ，P₁Q₁=       ．（用含a的代数式表示）

（2）如图②，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AC、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q．已知AB=a，CD=b，请用含a、b的代数式表示线段PQ的长，写出你的解题过程．
（3）如图③，在直角坐标系xOy中，梯形ABCD的腰BC在x轴正半轴上（点B与原点O重合），AB∥CD，∠ABC=60°，AC、BD交于点P，过点P作PQ∥CD交BC于点Q，连结AQ交BD于点P₁，过点P₁作P₁Q₁∥CD交BC于点Q₁．连结AQ₁交BD于点P₂，过点P₂作P₂Q₂∥CD交BC于点Q₂，…，已知AB=a，CD=b，则点P₁的纵坐标为       点P_n的纵坐标为      （直接用含a、b、n的代数式表示）

【推荐3】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若点D为第四象限内抛物线上一动点，当△BCD面积最大时，求△BCD面积的最大面积；
（3）在x轴上是否存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．