【推荐1】探究与实践
【问题初探】
在数学活动课上，老师给出如下问题：
如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、．若，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．
易证：，从而得．

【方法归纳】
有公共顶点，锐角等于较大的角的一半时，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型．这种解法称为经典之旋转法．
【实践探究】
（1）在用图①结论下，若，，则正方形的边长是多少？
（2）如图②，点M、N分别在正方形边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连接、，已知，，求的长．

【推荐2】如图，已知点在同一条直线上，和都是等边三角形，连接，交于点，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．

【推荐3】如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形绕点B按顺时针方向旋转，连接．
   
(1)求证：；
(2)在正方形绕点B按顺时针方向旋转的过程中，的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．

【推荐1】如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，连接DE，CE．

（1）求证：BD=CE；
（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点．

【推荐2】如图，已知点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．

(1)求证：四边形为矩形；
(2)，，求四边形的面积．

【推荐3】如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接．
   
(1)如图1，当点与重合时，证明；
(2)如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；
(3)如图2，当点不与重合时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．

【推荐1】已知：正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点M、N．

(1)如图1，当绕点A旋转到时，线段，和的等量关系是______．
(2)当绕点A旋转到时，如图2，请问（1）中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
(3)当绕点A旋转到如图3位置时，请直接写出线段，和的等量关系．

【推荐2】如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
（1）求证：∠EAM=45°；
（2）求证：△AEM≌△ANM；
（3）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长．

【推荐3】如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P．连结DP并延长交AB于点E．
求证：（1）DP＝AB；
（2）DE为半圆O的切线；
（3）连结OE，求tan∠BOE的值．