【推荐3】如图，已知为的直径，为的一条弦，是外一点，且，垂足为，交于点和点，连接．

（1）求证：；
（2）若，求证：是的切线；
（3）连接，若，．
①设，用含的代数式表示；
②求的半径．

【推荐1】如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.

（1）观察猜想
图1中，线段与的数量关系是        ，位置关系是        ；
（2）探究证明
把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.

【推荐2】综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在“中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．

(1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
(3)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值．

【推荐3】如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转．

(1)直接写出的度数；
(2)若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度（如图②），若平分，平分，求的度数；
(3)在图①基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为秒，（当三角板旋转一周后，两块三角板停止运动），在旋转过程中，当，求旋转的时间是多少．

【推荐1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝110°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转35°后能与△ADE重合，点G、F是DE分别与AB、BC的交点．

（1）求∠AGE的度数；
（2）求证：四边形ADFC是菱形．

【推荐2】如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，点为的中点，连接，．
   
(1)观察猜想：线段和的数量关系为；和的位置关系为_____．
(2)探究证明：把绕点逆时针旋转到如图所示位置，试判断（）中的关系是否仍然成立．如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．
(3)拓展应用；若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当D，E，B三点共线时CF的长度．

【推荐3】正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请说明理由；
（3）如图②，若点E在上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．