1 . 已知：在矩形中，是对角线．求作：菱形，使点分别在边上．

作法：如图，①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于点；
②作直线交于点，与分别交于点；
③连接．
所以四边形就是所求的菱形．
根据上面设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
∵，
∴是的垂直平分线        （填推理根据）．
∴．
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∴        ．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形        （填推理根据）．
又∵，
∴四边形是菱形        （填推理根据）．

2 . 如图，中，，的平分线交于点．

(1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）中所作的图形中，求证：．补全下列证明过程：
证明：∵垂直平分
∴，___________①___________
∵平分
∴___________②___________
在和中，，
∴，∴___________④___________
∴

3 . 下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：如图，

①在直线l上取点A，连接；
②作线段的垂直平分线，分别交直线l，直线于点B，O；
③以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点Q；
④作直线．所以直线就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，
∵线段的垂直平分线交于点O，
∴，（_____________________）（填推理的依据）
又∵，______，
∴，（_____________________）（填推理的依据）
∴，
∴．

4 . 下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．

求作：，使，且点在射线上．
作法：
①如图2，在射线上任取一点；
②作线段的垂直平分线，交于点；
③连接．
则即为所求作的角．
根据上述作图过程，回答问题：
(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：是线段的垂直平分线，
_________（_________）（填推理的依据）．
（_________）（填推理的依据）．
，
．

5 . 小红发现，任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形．
已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．
下面是小红设计的尺规作图过程，作法：①作的垂直平分线，交斜边于点D；②作直线，则直线就是所求作的直线．
根据小红设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)证明和都是等腰三角形．

6 . 下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a和线段b．
求作：，使得，，边上的中线为b．
作法：如图2，
①作射线，并在射线上截取；
②作线段的垂直平分线，交于D；
③以D为圆心，b为半径作弧，交于A；
④连接和．
则为所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：

(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形；
(2)完成下面的证明：
证明：由作图可知，．
∵为线段的垂直平分线，点A在上，
∴（ ）（填依据）．
又∵线段的垂直平分线交BC于D，
∴      ＝       ．
∴为边上的中线，且．

7 . 小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：如图，

①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；
②作直线．
所以直线CD就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
∴．（       ）（填推理的依据）
∴      ．
∵，
∴，
       ．
∴．
∴．（       ）（填推理的依据）
∴和都是等腰三角形．

8 . 下面是小明同学设计的“已知两条对角线长作菱形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a．

求作：菱形ABCD，使得对角线，．
作法：如图2，
①作射线AM，并在射线AM上截取；
②作线段AC的垂直平分线PQ，PQ交AC于点O；
③以点O为圆心，a为半径作弧，交PQ于点B，D；
④连接AB，AD，BC，CD．
则四边形ABCD为所求作的菱形．
(1)用直尺和圆规，依作法补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：由作图可知，．
∵PQ为线段AC的垂直平分线，∴．
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形（__________________）（填推理的依据）．
又∵，∴是菱形（_________________）（填推理的依据）．

9 . 下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l和直线l外一点P．
求作：直线，使直线．
作法：如图2，
①在直线l上取一点A，连接；
②作的垂直平分线，分别交直线l，线段于点B，O；
③以O为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点Q；
④作直线，所以直线为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：∵直线是的垂直平分线，
∴___________，．
∵___________，
∴．
∴___________=___________．
∴（___________）（填推理的依据）