1 . 洛洛遇到这样一个问题：如图1，在中，点D在线段上，，，，，求的长．

洛洛发现，过点C作，交的延长线于点E，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
(1)请回答：的度数为__________，的长为__________．
(2)参考洛洛思考问题的方法，解决问题：
①如图3，在四边形中，与交于点E，且，，，，，求的长；
②如图4，在中，，点D是边的中点，点E在边上，过点D作交边于点F，连结，当，时，请直接写出的长．

2 . 如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E．

(1)试说明为直角三角形．
(2)求的长．

4 . 如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）

甲：连接，作的中垂线交、于E、F，则四边形是菱形．

乙：分别作与的平分线、，分别交于点E，交于点F，则四边形是菱形．

   

A．甲正确，乙错误	B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确	D．甲、乙均错误

5 . 阅读下列材料，并完成相应的任务．

尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图①，在中，，小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于长为半径作弧，分别交于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，则垂直平分．

(1)根据小明的作图方法，如图①，他得出“垂直平分”的依据是______；
(2)如图②，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线，请你帮助小明说明理由．

6 . 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 __________．

7 . 课本再现

思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在中，对角线，垂足为O．
求证：是菱形．

知识应用
（2）如图2，在中，对角线和相交于点O，，，．求证：是菱形．

8 . 如图，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，连接，．则的度数为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．

10 . 如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．

(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．