1 . 综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点将线段分成两部分（），若，则称点为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比．
   
【初步感知】
（1）如图1，若，求黄金比的值．
【类比探究】
（2）如图2，在中，是边上一点，将分割成两个三角形（），若，则称为的黄金分割线．
①求证：点是线段的黄金分割点；
②若的面积为4，求的面积．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，为上的一点（不与，重合），过作，交于，，相交于，连接并延长，与，分别交于，．请问直线是的黄金分割线吗？并说明理由．

2 . 阅读与思考
阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
探究反比例函数图象中的等线段
我们知道，若反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，，则根据反比例函数的图象与正比例函数的图象都关于原点对称，不难发现，那么如果反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，是否也存在相等线段？
下面分别从反比例函数图象与一次函数图象的交点在同一象限和不同象限两种情况进行分析：
情况：交点在同一象限（以交点在第一象限为例）．
如图，过点作轴于点，作轴于点，，交于点，连接．
设点，，
则，，，，
，，．
又，∽（依据），
，．
又，四边形是平行四边形，
．
同理可得，从而；
情况：交点在不同象限（以交点在一、三象限为例）．
如图，
   
任务：
(1)上述证明过程中的依据是：______ ；
(2)请参照情况的分析过程，写出情况的分析过程；
(3)“从一般到特殊”的思想拓展研究数学中的一些问题，是数学中经常使用的解题方法，结合以上信息，猜想：当反比例函数的图象与一次函数的图象只有个交点时，设交点为，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，试着找出一条结论：______ ．

3 . 综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．
纸片和满足，．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点、交边于点时，设，，请你探究出与的函数关系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点在边上运动（不包括端点、），且始终保持．请你直接写出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．

   

5 . 已知，，．

   

(1)【操作发现】如图1，将的顶点放在的边上（不与，重合），绕点任意旋转，使交边于点，交边于点，通过探究发现总有，请你写出证明过程；
(2)【类比学习】如图2，将的顶点放在的边的延长线上，交边于点，交的延长线于点，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)【拓展延伸】将图2中的绕点逆时针旋转，使经过点，如图3，若，，，直接写出的长．

6 . 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A．

(1)【操作判断】
如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度；
(2)【问题探究】
如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：；
(3)【拓展延伸】
点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值．

7 . A4纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入(编号是)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．定义了 A、B、C 三组纸张尺寸．

(1)观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较长边与较短边的比为             ．
(2)探究迁移；将一张纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．点E是否为的中点?请说明理由．
(3)拓展应用；利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点．

8 . 【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形．
【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H．
【问题解决】（1）证明是型三角形；
（2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形；
【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积．

9 . 在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．

（1）四边形是菱形，
，，．
．
又，，
______+______．
化简整理得______．
【类比探究】
（2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．

【拓展应用】
（3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度．

10 . 小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

   

(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．