1 . 在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到．

(1)【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为            ；
(2)【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；
(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长．

2 . [问题情境]
(1)王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：．
小明的证明思路是：
如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．
小颖的证明思路是：
如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，，则．
请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
[变式探究]
(2)如图③，当点P在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：．
[结论运用]
(3)如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G，H，若，，求的值．
[迁移拓展]
(4)图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，E为边上的一点，，，垂足分别为D，C，且，cm，cm，cm，分别为，的中点，连接，，请直接写出与的周长之和．

3 . 1.问题发现
图（1），在和中，，，，连接，交于点M.
①的值为______；②的度数为_______．
（2）类比探究
图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．
①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值．

6 . 如图1，在等腰直角三角形中，以为边在右侧作正方形．

(1)问题提出：图I中线段与线段的数量关系为 　                  　（直接写出答案）；
(2)深入探究：如图2，将正方形绕点D在平面内旋转，连接．判断线段与线段的数量关系并说明理由；
(3)拓展延伸：若，正方形绕点D在平面内旋转的过程中，当点A，E，请直接写出线段的长．

9 . 【初步感知】如图①，和都是等边三角形，连结，．易知：（不用证朋）；
   
【深入探究】如图②，和是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中，，连结、．
(1)求的值；
(2)延长交于点，交于点，则______°；
(3)【拓展提升】如图③，和都是直角三角形，，且，连结，．延长交于点，交于点，若，则______．（用含的式子表示）

10 . 综合与实践

   

(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角：______．
(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．
①______度；
②若，求线段的长．
(3)【迁移应用】如图3，在矩形，点E，F分别在边上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请直接写出线段的长．