名校
1 . 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,点D、E分别在边AC、AB上,AD=DE=AB,连接DE.将△ADE绕点A逆时针方向旋转,记旋转角为θ.
(1)问题发现
①当θ=0°时,= ;
②当θ=180°时,= .
(2)拓展探究
试判断:当0°≤θ<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明;
(3)问题解决
①在旋转过程中,BE的最大值为 ;
②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时,线段CD的长为 .
(1)问题发现
①当θ=0°时,= ;
②当θ=180°时,= .
(2)拓展探究
试判断:当0°≤θ<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明;
(3)问题解决
①在旋转过程中,BE的最大值为 ;
②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时,线段CD的长为 .
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2018-06-03更新
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661次组卷
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6卷引用:江西省南昌市第十九中学2021-2022学年九年级第三次阶段性考评语数学试题
江西省南昌市第十九中学2021-2022学年九年级第三次阶段性考评语数学试题【全国校级联考】河南省商丘市柘城县2018届九年级中考模拟数学试卷【县级联考】河南省商丘市柘城县2019届九年级下学期期中(模拟)考试数学试题河南省南阳市镇平县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(已下线)热点专题7 类比拓展探究题-2020年《三步冲刺中考·数学》之热点专题冲刺(河南专用)(已下线)专题14相似三角形判定定理的证明(2个知识点6种题型1种中考考法)-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练(北师大版)
真题
2 . 问题背景
已知在△ABC中,AB边上的动点D由A向B运动(与A、B不重合),点E与点D同时出发,由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合),连接DE交AC于点F,点H是线段AF上一点.
(1)初步尝试
如图1,若△ABC是等边三角形,DH⊥AC,且点D,E的运动速度相等.求证:HF=AH+CF.
小王同学发现可以由以下两种思路解决问题:
思路一:过点D作DG∥BC,交AC于点G,先证GH=AH,再证GF=CF,从而证得结论成立;
思路二:过点E作EM⊥AC,交AC的延长线于点M,先证CM=AH,再证HF=MF,从而证得结论成立.
请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答,则以第一种方法评分);
(2)类比探究
如图2,若在△ABC中,∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°,且点D,E的运动速度之比是:1,求的值;
(3)延伸拓展
如图3,若在△ABC中,AB=AC,∠ADH=∠BAC=36°,记=m,且点D,E的运动速度相等,试用含m的代数式表示(直接写出结果,不必写解答过程).
已知在△ABC中,AB边上的动点D由A向B运动(与A、B不重合),点E与点D同时出发,由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合),连接DE交AC于点F,点H是线段AF上一点.
(1)初步尝试
如图1,若△ABC是等边三角形,DH⊥AC,且点D,E的运动速度相等.求证:HF=AH+CF.
小王同学发现可以由以下两种思路解决问题:
思路一:过点D作DG∥BC,交AC于点G,先证GH=AH,再证GF=CF,从而证得结论成立;
思路二:过点E作EM⊥AC,交AC的延长线于点M,先证CM=AH,再证HF=MF,从而证得结论成立.
请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答,则以第一种方法评分);
(2)类比探究
如图2,若在△ABC中,∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°,且点D,E的运动速度之比是:1,求的值;
(3)延伸拓展
如图3,若在△ABC中,AB=AC,∠ADH=∠BAC=36°,记=m,且点D,E的运动速度相等,试用含m的代数式表示(直接写出结果,不必写解答过程).
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2016-12-06更新
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894次组卷
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6卷引用:2016届江西省上饶市婺源中学九年级下4月月考数学试卷
2016届江西省上饶市婺源中学九年级下4月月考数学试卷2015年初中毕业升学考试(浙江湖州卷)数学(已下线)决胜2018中考压轴题全揭秘 专题15 相似形问题【校级联考】山东省济宁市鱼台县2019届九年级下学期第一次模拟考试数学试题2019年山东省济宁市金乡县九年级下学期4月模拟数学试题(已下线)【万唯原创】2016年河北省中考数学-面对面-考前猜押上
3 . 【特例发现】如图1,在△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q.求证:EP=FQ.
【延伸拓展】如图2,在△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC为直角边,向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF,请思考HE与HF之间的数量关系,并直接写出你的结论.
【深入探究】如图3,在△ABC中,G是BC边上任意一点,以A为顶点,向△ABC外作任意△ABE和△ACF,射线GA交EF于点H.若∠EAB=∠AGB,∠FAC=∠AGC,AB=kAE,AC=kAF,上一问的结论还成立吗?并证明你的结论.
【应用推广】在上一问的条件下,设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N,若△ABC为腰长等于4的等腰三角形,其中∠BAC=120°,且∠IHJ=∠AGB=θ=60°,k=2;
求证:当∠IHJ在旋转过程中,△EMH、△HMN和△FNH均相似,并直接写出线段MN的最小值(请在答题卡的备用图中补全作图).
【延伸拓展】如图2,在△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB,AC为直角边,向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF,请思考HE与HF之间的数量关系,并直接写出你的结论.
【深入探究】如图3,在△ABC中,G是BC边上任意一点,以A为顶点,向△ABC外作任意△ABE和△ACF,射线GA交EF于点H.若∠EAB=∠AGB,∠FAC=∠AGC,AB=kAE,AC=kAF,上一问的结论还成立吗?并证明你的结论.
【应用推广】在上一问的条件下,设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N,若△ABC为腰长等于4的等腰三角形,其中∠BAC=120°,且∠IHJ=∠AGB=θ=60°,k=2;
求证:当∠IHJ在旋转过程中,△EMH、△HMN和△FNH均相似,并直接写出线段MN的最小值(请在答题卡的备用图中补全作图).
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4 . 如图1,在中,,点D,E分别在边上,且,将绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.(1)问题发现:①当时, ________;②当时,________;
(2)拓展研究:试判断,当时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明;
(3)问题解决:当旋转至A,D,C三点共线时,直接写出线段的长.
(2)拓展研究:试判断,当时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明;
(3)问题解决:当旋转至A,D,C三点共线时,直接写出线段的长.
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名校
5 . 【问题提出】
(1)如图①,在正方形中,点,分别在边和对角线上,,求证:.
【尝试应用】
(2)如图②,在矩形中,,,点,分别在边和对角线上,,,求的长.
【拓展提高】
(3)如图③,在菱形中,,,点,分别在边和对角线上,,,,的延长线交于点,请直接写出的长.
(1)如图①,在正方形中,点,分别在边和对角线上,,求证:.
【尝试应用】
(2)如图②,在矩形中,,,点,分别在边和对角线上,,,求的长.
【拓展提高】
(3)如图③,在菱形中,,,点,分别在边和对角线上,,,,的延长线交于点,请直接写出的长.
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2024-06-22更新
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62次组卷
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3卷引用:2024年江西省新余市第四中学中考模拟数学试题
2024年江西省新余市第四中学中考模拟数学试题(已下线)专题11 几何图形中的综合问题(5年真题6个考点+1年模拟6个考点)-【好题汇编】5年(2020-2024)中考1年模拟数学真题分类汇编(江西专用)2024年江西省吉安市联考中考三模数学试题
真题
6 . 综合与实践
如图,在中,点D是斜边上的动点(点D与点A不重合),连接,以为直角边在的右侧构造,,连接,.特例感知
(1)如图1,当时,与之间的位置关系是______,数量关系是______;
类比迁移
(2)如图2,当时,猜想与之间的位置关系和数量关系,并证明猜想.
拓展应用
(3)在(1)的条件下,点F与点C关于对称,连接,,,如图3.已知,设,四边形的面积为y.
①求y与x的函数表达式,并求出y的最小值;
②当时,请直接写出的长度.
如图,在中,点D是斜边上的动点(点D与点A不重合),连接,以为直角边在的右侧构造,,连接,.特例感知
(1)如图1,当时,与之间的位置关系是______,数量关系是______;
类比迁移
(2)如图2,当时,猜想与之间的位置关系和数量关系,并证明猜想.
拓展应用
(3)在(1)的条件下,点F与点C关于对称,连接,,,如图3.已知,设,四边形的面积为y.
①求y与x的函数表达式,并求出y的最小值;
②当时,请直接写出的长度.
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2024-06-18更新
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1184次组卷
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7卷引用:2024年江西省中考数学试题
2024年江西省中考数学试题(已下线)2024年江西省中考数学真题变式题19-23题(已下线)专题11 几何图形中的综合问题(5年真题6个考点+1年模拟6个考点)-【好题汇编】5年(2020-2024)中考1年模拟数学真题分类汇编(江西专用)(已下线)专题34 动点综合问题(33题)-【好题汇编】2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)(已下线)专题35 几何综合压轴题(40题)-【好题汇编】2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)(已下线)第二期专题22 图形的相似(31题)-【好题汇编】2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)(已下线)专题24 四边形压轴综合(3大考点)-【好题汇编】三年(2022-2024)中考数学真题分类汇编(全国通用)
名校
7 . 课本再现(1)将两个等腰直角三角形(,)按如图1所示的方式摆放(图中所有的点、线都在同一平面内),则与相似的三角形有 .(填序号)
①;②;③.
类比迁移
(2)将两个等腰直角三角形()按如图2所示的方式摆放,点D在边上.
①求证:.
②如图3,若D是的中点,与交于点G,与交于点H,,连接,求的长.
拓展应用
(3)如图4,在中,,点D,E分别在边上,且,若,,求的长.
①;②;③.
类比迁移
(2)将两个等腰直角三角形()按如图2所示的方式摆放,点D在边上.
①求证:.
②如图3,若D是的中点,与交于点G,与交于点H,,连接,求的长.
拓展应用
(3)如图4,在中,,点D,E分别在边上,且,若,,求的长.
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2024-05-29更新
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133次组卷
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4卷引用:2024年江西省九江市柴桑区第三中学中考三模数学试题
2024年江西省九江市柴桑区第三中学中考三模数学试题(已下线)专题11 几何图形中的综合问题(5年真题6个考点+1年模拟6个考点)-【好题汇编】5年(2020-2024)中考1年模拟数学真题分类汇编(江西专用)(已下线)2024年内蒙古自治区赤峰市中考数学真题变式题23-26题山东省济宁市任城区济宁学院附属中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
8 . 综合与实践
初步感知
(1)如图1,,交于点E.与存在的数量关系为 ;
知识应用
(2)如图2,已知在中,,为的角平分线,为的高线,,相交于点O.
①如图2,若,求证:;
②如图3,若,则与的数量关系为 ;
拓展提升
(3)如图4,在四边形中,,,E,F分别为,上的点,且,与相交于点G,连接.若,,,求的值.
初步感知
(1)如图1,,交于点E.与存在的数量关系为 ;
知识应用
(2)如图2,已知在中,,为的角平分线,为的高线,,相交于点O.
①如图2,若,求证:;
②如图3,若,则与的数量关系为 ;
拓展提升
(3)如图4,在四边形中,,,E,F分别为,上的点,且,与相交于点G,连接.若,,,求的值.
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9 . (1)【问题发现】如图①,在中,,,D为的中点.以为一边作正方形.点E恰好与点A重合,则与的数量关系为______;
(2)【拓展研究】
在(1)的条件下,如果正方形绕点C旋转,连接,,.与的数量关系是否会发生变化?请仅就图②的情形给出证明;
(3)【问题解决】
当正方形旋转到B,E,F三点共线时,求线段的长.
(2)【拓展研究】
在(1)的条件下,如果正方形绕点C旋转,连接,,.与的数量关系是否会发生变化?请仅就图②的情形给出证明;
(3)【问题解决】
当正方形旋转到B,E,F三点共线时,求线段的长.
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2024-03-05更新
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150次组卷
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24卷引用:江西省部分学校2021-2022学年九年级下学期期中数学试题
江西省部分学校2021-2022学年九年级下学期期中数学试题河南省2017年中考数学押题试卷(二)(已下线)学科网2018年5月2018届九年级第三次模拟大联考(河南)-数学【全国区级联考】山东省济南市天桥区2018届九年级(上)期末数学试卷【校级联考】河南省南阳市淅川县2018届九年级中考二模试卷数学试题2019年河南省南阳市镇平县中考一模数学试题【区级联考】2019年山东省菏泽市牡丹区中考二模数学试题湖北省襄阳市宜城市2018-2019学年九年级上学期期末数学试题河南省南阳市唐河县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(已下线)专题13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识-决胜2020年中考数学压轴题全揭秘精品(河南)(已下线)热点专题7 类比拓展探究题-2020年《三步冲刺中考·数学》之热点专题冲刺(河南专用)2019年山东省菏泽市牡丹区九年级阶段性学业水平检测(二)数学试题(已下线)【万唯原创】2018年河南省中考数学试题研究-河南试卷-河南重难题型研究解答题重难点突破题型72020年河南省开封市九年级二模数学试题山东省济南市2017-2018年天桥区九年级上学期期末卷2021年河南省三门峡市中招第一次模拟考试 九年级数学(已下线)【万唯】2021年开封市第二次模拟考试2022年山西省中考一模数学试题河南省驻马店市平舆县2020-2021学年九年级下学期期中数学试题山西省运城市平陆县2022-2023学年九年级上学期1月期末数学试题山东省济南市章丘区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题山东省济南市章丘区2023-2024学年九年级上学期第三次阶段考试数学试题2024年广东省深圳市罗湖区翠园实验学校中考模拟数学试题2023年山东省济南中考二轮复习数学仿真检视试题
10 . 课本再现
证明:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于.
结论证明
(1)为了证明该命题,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在中,,.
求证:.
证明:如图1,延长到点D,使得,连接.
……知识应用
(2)如图2,四边形是一张矩形纸片,将纸片折叠得到折痕后再把纸片展平;在上选一点P,沿折叠,使点D恰好落在折痕上的点M处.求证:.拓展提升
(3)如图3,在矩形中,,,P是边上的一个动点(不与点A,B重合),E在边上,且,将沿折叠,点A落在点;将沿折叠,点B落在点处,且P,,三点在同一条直线上,A,,C三点在同一条直线上,与的交点为F.请直接写出的长.
证明:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于.
结论证明
(1)为了证明该命题,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在中,,.
求证:.
证明:如图1,延长到点D,使得,连接.
……知识应用
(2)如图2,四边形是一张矩形纸片,将纸片折叠得到折痕后再把纸片展平;在上选一点P,沿折叠,使点D恰好落在折痕上的点M处.求证:.拓展提升
(3)如图3,在矩形中,,,P是边上的一个动点(不与点A,B重合),E在边上,且,将沿折叠,点A落在点;将沿折叠,点B落在点处,且P,,三点在同一条直线上,A,,C三点在同一条直线上,与的交点为F.请直接写出的长.
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