1 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．
【问题情景】如图，在
中，
是射线
上的一动点（不与点
重合），将线段
绕点
按顺时针方向旋转
得到
，连接
．
【问题探究】
（1）勤奋小组提出的问题：如图1，若
，则
之间的数量关系是______．
【类比延伸】
（2）智慧小组提出的问题：如图2，若
，探究之间的数量关系．
【拓展探究】
（3）创新小组突发奇想，将问题迁移到平面直角坐标系中，如图3，若
，则在点运动的过程中，当
时，请直接写出点的坐标．
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．
【问题情景】如图，在
中，是射线上的一动点（不与点重合），将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接．【问题探究】
（1）勤奋小组提出的问题：如图1，若
，则之间的数量关系是______．【类比延伸】
（2）智慧小组提出的问题：如图2，若
，探究之间的数量关系．【拓展探究】
（3）创新小组突发奇想，将问题迁移到平面直角坐标系中，如图3，若
，则在点运动的过程中，当时，请直接写出点的坐标．
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2024-04-18更新
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140次组卷
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2卷引用：2024年河南省濮阳市南乐县中考一模数学模拟试题
21-22九年级上·河南平顶山·期末
名校
解题方法
2 . 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和
均为等腰直角三角形，E分别在线段
，
上，且
．绕点A逆时针旋转，连接
，
，如图②，当点E与点F重合时：
①
的值为______；
②
的度数为______度；
(2)类比探究：如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)拓展延伸：若
，当所在的直线垂直于时，直接写出的长．
和均为等腰直角三角形，E分别在线段，上，且．
绕点A逆时针旋转，连接，，如图②，当点E与点F重合时：①
的值为______；②
的度数为______度；(2)类比探究：如图③，小芳在小华的基础上继续旋转
，连接，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；(3)拓展延伸：若
，当所在的直线垂直于时，直接写出的长．
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2024-04-07更新
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194次组卷
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11卷引用：河南省平顶山市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷
（已下线）河南省平顶山市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷河南省新乡市辉县市市城关初级中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题辽宁省沈阳市皇姑区第三十三中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（已下线）专题12 手拉手模型证相似-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）2022-2023学年 吉林省长春市第二实验学校九年级下学期 第一次模拟考试数学试题江苏省宿迁市沭阳2023-2024学年九年级下学期第一次调研测试数学试题2024年江苏省宿迁市沭阳县沭河初级中学中考数学一调模拟预测题（已下线）重难点02相似三角形四种模型（模型解读+典例剖析+培优争分练）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（安徽专用）2024年宁夏银川市北塔中学九年级中考第二次模拟九年级数学试题广东省深圳市2023-2024学年九年级上学期适应性考试数学模拟试题人教版2023-2024学年九年级数学上册期末测试题
名校
3 . 【问题呈现】如图，
是矩形
的边上的一点，
于点
，
，
，
，证明
，并计算点
到直线的距离（结果保留根号）．
(2)【拓展探究】在图①的基础上，延长线段
交边
于点
，如图②，求
的长．
(3)如图③，，是矩形的边，上的点，连接
，将矩形沿翻折，使点的对称点
与点
重合，点的对称点为点
．若
，
，求的长．
是矩形的边上的一点，于点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）．
(2)【拓展探究】在图①的基础上，延长线段
交边于点，如图②，求的长．(3)如图③，
，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，求的长．
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2024-01-13更新
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72次组卷
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14卷引用：2023年河南省驻马店市泌阳县光亚学校九年级中考数学一模试题
2023年河南省驻马店市泌阳县光亚学校九年级中考数学一模试题（已下线）2023年河南省一模（几何综合2）河南省安阳市滑县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题2023年河南省驻马店市泌阳县光亚学校一模数学试题吉林省长春市第八十七中学2021-2022学年下学期九年级第一次模拟（开学考试）测试数学试题2022年吉林省长春市第八十七中学中考数学一模试题（已下线）专题32 图形的变化（翻折与旋转变换）-解答题专项训练-备战2022年中考数学临考题号押题（全国通用）吉林省长春高新技术产业开发区慧仁学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题吉林省长春市南关区第十三中学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题2022年湖南省长沙市天心区中考二模数学试卷2023年广东省广州市天河区新都学校中考一模数学试题2023年广东省广州市中考一模数学试题山东省泰安市泰山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（已下线）专题4.20 相似三角形几何模型分类专题（专项练习）（基础练）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
4 . 如图1，在中，
，点D为
边上的动点，
交
于点E．
时，
___________；
与所在直线相交所成的锐角等于___________．
类比探究：（2）当
时，把绕点A逆时针旋转到如图3的位置时，请求出
的值以及与所在直线相交所成的锐角．
拓展应用：（3）若
，
，点D为AB边的中点，绕点A逆时针旋转的过程中，当点B、D、E三点在同一直线上时，请直接写出线段的长度．
中，，点D为边上的动点，交于点E．
时，___________；与所在直线相交所成的锐角等于___________．类比探究：（2）当
时，把绕点A逆时针旋转到如图3的位置时，请求出的值以及与所在直线相交所成的锐角．拓展应用：（3）若
，，点D为AB边的中点，绕点A逆时针旋转的过程中，当点B、D、E三点在同一直线上时，请直接写出线段的长度．
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5 . （1）观察猜想：如图1，在中，
．点D是
的平分线上一动点，连接
，将线段绕点逆时针旋转
得到线段，连接
．
①
的值是______；②射线与直线相交所成的较小角的度数是______．
（2）类比探究
如图2，在中，
．点是的平分线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转
得到线段，连接．
请写出的值及射线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若
，请直接写出当
时，的长为_______．
中，．点D是的平分线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．①
的值是______；②射线与直线相交所成的较小角的度数是______．（2）类比探究
如图2，在
中，．点是的平分线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．请写出
的值及射线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若
，请直接写出当时，的长为_______．
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6 . 【问题情境】在数学活动课上，奋飞组的同学在延时课上用两张矩形纸片进行探究活动．小组同学准备了两张矩形纸片和
，其中
，
，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，
边上时，点E，G恰好为边，的中点．然后将矩形纸片
绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α，连接
与
．
（1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为______；位置关系为______；
【探索猜想】
（2）如图3所示，当
时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）在矩形的旋转过程中，连接
，，得
为定值，请直接写出此定值．
和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α，连接与．
（1）如图2所示，当
时，小组成员发现与存在的数量关系为______；位置关系为______；【探索猜想】
（2）如图3所示，当
时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；【拓展延伸】
（3）在矩形
的旋转过程中，连接，，得为定值，请直接写出此定值．
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2024-03-20更新
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92次组卷
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2卷引用：2024年河南省驻马店市遂平县中考一模数学模拟试题
名校
7 . 综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
【问题发现】
如图1，在矩形中，
，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形
为矩形．请问线段
与
的数量关系为______；
【拓展探究】
如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为
，当
时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明．
【解决问题】
如图3，当矩形的边
时，点为直线上异于，
的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接
，若
，
，直接写出的长．
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
【问题发现】
如图1，在矩形
中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______；【拓展探究】
如图2，将图1中的矩形
绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明．【解决问题】
如图3，当矩形
的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长．
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2023-12-21更新
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227次组卷
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4卷引用：河南省郑州市金水区实验中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题
8 . （1）【观察发现】如图1，在
的正方形网格中，点
为格点，交于点M．为了求
的度数，我们可以向右平移线段，使得点B与点D重合，点A的对应点为点E，连接，则的度数为 ；
（2）【探究迁移】如图2，正方形的边上有一动点E，以为边向外作正方形
，连接
交于点
与交于点P，请仅就图2的情形解决以下问题：
①将线段向左平移，使得点C与点B重合，此时，点G的对应点H落在边上，连接
，求证：
；
②求
的度数．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若
为边的三等分点，请直接写出
的面积．
的正方形网格中，点为格点，交于点M．为了求的度数，我们可以向右平移线段，使得点B与点D重合，点A的对应点为点E，连接，则的度数为 ；（2）【探究迁移】如图2，正方形
的边上有一动点E，以为边向外作正方形，连接交于点与交于点P，请仅就图2的情形解决以下问题：①将线段
向左平移，使得点C与点B重合，此时，点G的对应点H落在边上，连接，求证：；②求
的度数．（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若
为边的三等分点，请直接写出的面积．
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9 . 在综合实践活动课上，张老师积极引导学生对问题进行变式训练，通过对图形形状的改变来发现问题，从而形成发展性看问题的思维习惯．下面是学习了“特殊平行四边形”的相关知识后进行变式训练的相关问题，请你解答．
如图1，在正方形
中，点E，F分别是，
上的两点，连接
，
，
，我们可以发现：与的数量关系是相等的，请说明理由．
(2)【类比探究】
如图2，在矩形中，
，
，E，G分别是，
上的点，连接
，过点B作
，分别交，
于点F，H，且
，
，求的长．
(3)【拓展延伸】
如图3，在矩形中，
，，点P是上的一点，过点P作
，垂足为O，点O恰好落在对角线
上，延长
，与交于点G，且
，
，试求的值．
如图1，在正方形
中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，我们可以发现：与的数量关系是相等的，请说明理由．(2)【类比探究】
如图2，在矩形
中，，，E，G分别是，上的点，连接，过点B作，分别交，于点F，H，且，，求的长．(3)【拓展延伸】
如图3，在矩形
中，，，点P是上的一点，过点P作，垂足为O，点O恰好落在对角线上，延长，与交于点G，且，，试求的值．
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10 . （1）问题背景
如图1，
中，
，
，
的平分线交直线于，过点作
，交直线于．请探究线段与的数量关系．（事实上，我们可以延长与直线
相交，通过三角形的全等等知识解决问题．
结论：线段与的数量关系是 （请直接写出结论）；
（2）类比探索
在（1）中，如果把改为的外角
的平分线，其他条件均不变（如图
，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）中，如果
，且
，其他条件均不变（如图
，请你直接写出与的数量关系．
结论：
（用含n的代数式表示）．
如图1，
中，，，的平分线交直线于，过点作，交直线于．请探究线段与的数量关系．（事实上，我们可以延长与直线相交，通过三角形的全等等知识解决问题．结论：线段
与的数量关系是 （请直接写出结论）；（2）类比探索
在（1）中，如果把
改为的外角的平分线，其他条件均不变（如图，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸
在（2）中，如果
，且，其他条件均不变（如图，请你直接写出与的数量关系．结论：
（用含n的代数式表示）．
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