2 . 小凡同学在学习圆的知识中遇到以下问题：

如图①，点是⊙O的弦上的一点，且，，直径经过点，点是上一动点，圆的另一条弦经过点，连接．当是等腰三角形时，求线段的长度．

小凡发现本题很难用推理计算的方法解决，于是尝试利用构造函数的思路进行探究，请将下面的探究过程补充完整：
（1）线段，而线段、的长度和点的位置有关．现根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段、、的长度，得到下表的几组对应值．

位置编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	2.00	2.33	2.50	2.75	3.00	3.33	3.50	3.75	4.00	4.39	4.52
	4.00	3.44	3.20	2.91		2.40	2.29	2.13		2.10	1.79
	6.00	5.40	5.12	4.48	4.25	3.78	3.52	3.18	2.82	2.25	1.62

操作中发现：
①考虑测量有一定误差，发现线段、的长度满足一定规律，根据这种规律，可知上表中、的值是：______、______；
②写出①中线段、长度所满足规律的具体内容，并简要说明理由．
（2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图②所示．请在同一个坐标系画出函数的图象；

（3）根据解决问题的需要，继续在同一坐标系中画出所需要的图象，请结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．

3 . 如图所示，在RtΔABC中，∠ABC=90°，BF为斜边上的高，在射线AB上有一点D，连接DF，作∠DFE=90°，FE交射线BC于点E．
（1）问题发现：如图（1）所示，如果AB=CB，则DF与EF的数量关系为DF EF．(填“>”“<”或“=”)
（2）类比探究：如图（2）所示，如果改变RtΔABC中两直角边的比例，使得AB=2BC，则DF与EF还存在（1）中的关系吗？若存在，请说明理由；若不存在，请给出二者的关系并证明．

5 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过A点P作PEDC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）探究：当x为何值时，BEPQ？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

6 . （1）问题发现
如图①，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
填空：①∠AFB的度数是 ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 ．
（2）类比探究
如图②，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F．请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B为y轴上任意一点，连接AB，将BA绕点B逆时针旋转90°至BC，连接OC，请直接写出OC的最小值．

7 . 如图1，在中，，，点分别是边的中点，点是边上的点（不与点重合），过点作交于点．
（1）观察猜想
①若点是线段的中点，则__________；
②若点是线段的三等分点，则__________．
（2）类比探究
将在平面内绕点逆时针旋转一定的角度，连接，猜想在旋转的过程中，的值有没有发生变化？若没有发生变化，请仅就图2的情形给出证明；若发生变化，请说明理由．
（3）解决问题
将在平面内绕点自由旋转，若，当点在同一条直线上时，请直接写出线段的长．

8 . 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究：

【问题发现】（1）如图①，在等边三角形ABC中，点M是BC边上任意一点，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ABC和∠ACN的数量关系为　 　；
【变式探究】（2）如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，点M是BC边上任意一点（不含端点B，C，连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠AMN＝∠ABC，AM＝MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；
【解决问题】（3）如图③，在正方形ADBC中，点M为BC边上一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中心，连接CN，AB，AE，若正方形ADBC的边长为8，CN＝，直接写出正方形AMEF的边长．

10 . (1)问题引入：如图1所示，正方形和正方形，则与的数量关系是     ，      ；

(2)类比探究：如图2所示，为、的中点，正方形和正方形中，判断和的数量关系，并求出的值．
(3)解决问题：
①若把(1)中的正方形都改成矩形，且，则(1)中的结论还成立吗?若不能成立，请写出与的关系，并求出的值；
②若把(2)中的正方形也都改成矩形，且，请直接写出和的关系以及的值．