1 . 综合与探究
如图1，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D在线段上，连接，，．设点D的横坐标是m．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)如图2，过点D作，交于点P，用含m的代数式表示的面积，并求出m为何值时，的面积有最大值；
(3)已知Q为抛物线上一点，是否存在以B，C，D，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的与边相切于点E，与边交于点F，过点E作于点H，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

3 . 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

   

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的最大值；
(3)已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点的坐标．

4 . 已知：如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，且，．

(1)求证：矩形是正方形；
(2)连接、，若，求证：．

5 . 如图，在中，，点在边上，且，过点作交的延长线于点，以点为圆心，的长为半径作交于点．

(1)求证：是的切线．
(2)若的半径为，，求线段的长．

6 . 如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若的长为 ___________．

7 . 如图，是的直径，C，D是上两点，为的切线，且，垂足是E，连接交于点F．

   

(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)若，求的值．

8 . 如图，矩形的边长，为的中点， F在边上，且，分别与相交于点M，N，则的长为___________．

9 . 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．

   

【实践探究】
（1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________．
（2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长．

10 . 如图，的内接三角形中，，延长于D，使，过D作的切线，切点为E，连接、、、．

(1)求证：是的切线；
(2)探究：在长度的变化过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．