1 . 若数列
满足：存在等差数列
，使得集合
元素的个数为不大于
，则称数列具有
性质.
(1)已知数列
满足
，
.求证：数列
是等差数列，且数列有
性质；
(2)若数列有
性质，数列
有
性质，证明：数列
有
性质；
(3)记
为数列
的前n项和，若数列
具有性质，是否存在
，使得数列具有
性质？说明理由.
满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质.(1)已知数列
满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质；(2)若数列
有性质，数列有性质，证明：数列有性质；(3)记
为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由.
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2 . 已知
为非零常数，
，若对
，则称数列为
数列．
(1)证明：数列是递增数列，但不是等比数列；
(2)设
，若为数列，证明：
；
(3)若为数列，证明：
，使得
．
为非零常数，，若对，则称数列为数列．(1)证明：
数列是递增数列，但不是等比数列；(2)设
，若为数列，证明：；(3)若
为数列，证明：，使得．
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名校
解题方法
3 . 已知数列
的前
项和为
，满足
；数列
满足
，其中
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)对于给定的正整数
，在
和
之间插入
个数
，使
，
成等差数列.
（i）求
；
（ii）是否存在正整数
，使得
恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
的前项和为，满足；数列满足，其中.(1)求数列
的通项公式；(2)对于给定的正整数
，在和之间插入个数，使，成等差数列.（i）求
；（ii）是否存在正整数
，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
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2024-04-12更新
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1380次组卷
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4卷引用：湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题
解题方法
4 . 已知平面内定点
是以
为直径的圆
上一动点（
为坐标原点）．直线
与点
处的切线交于点
，过点作
轴的垂线
，垂足为
，过点
作轴的垂线
，垂足为
，过点作的垂线
，垂足为
．
(1)求点的轨迹方程
；
(2)求矩形
面积的最大值；
(3)设的轨迹，直线
与轴围成面积为
，甲同学认为随的增大，也会达到无穷大，乙同学认为随的增大不会超过4，你同意哪个观点，说明理由．
是以为直径的圆上一动点（为坐标原点）．直线与点处的切线交于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．(1)求点
的轨迹方程；(2)求矩形
面积的最大值；(3)设
的轨迹，直线与轴围成面积为，甲同学认为随的增大，也会达到无穷大，乙同学认为随的增大不会超过4，你同意哪个观点，说明理由．
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2024·全国·模拟预测
5 . 中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为
，传给对角线上的同学的概率为
，由甲开始传球．
(2)求第次传球后排球传到丙手中的概率；
(3)若随机变量
服从两点分布，且
，
，
，…，，则
，记前次（即从第1次到第次传球）中排球传到乙手中的次数为
，求
．
，传给对角线上的同学的概率为，由甲开始传球．
(2)求第
次传球后排球传到丙手中的概率；(3)若随机变量
服从两点分布，且，，，…，，则，记前次（即从第1次到第次传球）中排球传到乙手中的次数为，求．
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6 . 对于每项均是正整数的数列P：
，定义变换
，将数列P变换成数列
：
．对于每项均是非负整数的数列
，定义
，定义变换
，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列
．
(1)若数列
为2，4，3，7，求
的值；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列，令
，
．
（i）探究与
的关系；
（ii）证明：
．
，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．(1)若数列
为2，4，3，7，求的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列
，令，．（i）探究
与的关系；（ii）证明：
．
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2024-04-10更新
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714次组卷
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2卷引用：江苏省徐州市2024届高三下学期新高考适应性测试数学试卷
7 . 若有穷数列（是正整数），满足
（
，且
，就称该数列为“
数列”.
(1)已知数列是项数为7的数列，且
成等比数列，
，试写出的每一项；
(2)已知是项数为
的数列，且
构成首项为100，公差为
的等差数列，数列的前
项和为
，则当
为何值时，取到最大值？最大值为多少？
(3)对于给定的正整数
，试写出所有项数不超过
的数列，使得
成为数列中的连续项；当
时，试求这些数列的前2024项和
.
（是正整数），满足（，且，就称该数列为“数列”.(1)已知数列
是项数为7的数列，且成等比数列，，试写出的每一项；(2)已知
是项数为的数列，且构成首项为100，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？(3)对于给定的正整数
，试写出所有项数不超过的数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求这些数列的前2024项和.
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2024-04-10更新
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400次组卷
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2卷引用：海南省琼海市嘉积中学2023-2024学年高三下学期一模考试数学试题
解题方法
8 . 已知函数
及其导函数
的定义域均为.设
，曲线在点
处的切线交轴于点
.当
时，设曲线在点
处的切线交轴于点
.依此类推，称得到的数列为函数关于
的“数列”.
(1)若
，是函数关于
的“数列”，求
的值；
(2)若
，是函数关于
的“数列”，记
，证明：是等比数列，并求出其公比；
(3)若
，则对任意给定的非零实数
，是否存在
，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.
及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”.(1)若
，是函数关于的“数列”，求的值；(2)若
，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比；(3)若
，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.
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解题方法
9 . 设数列的前项和为，已知
，且
．
(1)证明：
为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设
，若对于任意的
，不等式
恒成立，求实数的取值范围；
(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数
，其中
表示不超过的最大整数，如
，
，设
，数列的前项和为，求
除以16的余数．
的前项和为，已知，且．(1)证明：
为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设
，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数
，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数．
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2024-04-08更新
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826次组卷
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2卷引用：辽宁省鞍山市第六中学2024届高三下学期第二次质量检测数学试题卷
10 . 大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作
删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列的通项公式
，
，通过“数据漏斗”软件对数列进行
操作后得到，设
前n项和为．
(1)求；
(2)是否存在不同的实数
，使得
，
，
成等差数列？若存在，求出所有的
；若不存在，说明理由；
(3)若
，，对数列
进行
操作得到
，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到
，再将的每一项都加上自身项数，最终得到
，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．
删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到，设前n项和为．(1)求
；(2)是否存在不同的实数
，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由；(3)若
，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．
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2024-04-07更新
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841次组卷
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3卷引用：辽宁省葫芦岛市2024届高三下学期第一次模拟数学试题
