1 . 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵.
(1)当时，计算；
(2)若，判断并证明当增大时，的变化趋势；
(3)若，随机变量所有可能的取值为，且，证明：.

2 . 已知函数的图像经过点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并证明；
(3)当时，的最小值为3，求的值.

3 . 已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断函数在上的单调性，并加以证明

4 . 已知函数.
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求在区间上的最大值和最小值.

5 . 已知定义在区间上的函数为奇函数．
(1)求函数的解析式，并证明函数在区间上的单调性；
(2)解关于t的不等式

6 . 已知函数．
(1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减；
(2)若对，，都有恒成立，求实数的取值范围．

7 . 定义在上的函数满足，且当时，．
(1)求，的值，并判断函数的奇偶性；
(2)判断并用定义证明函数在上的单调性；
(3)解不等式．

8 . 已知函数．
(1)用定义证明是奇函数；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义进行证明；
(3)若，求的值域．

9 . 已知定义在上的函数满足：，，当时，有则称函数为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函数”的是（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 已知函数
(1)判断的奇偶性；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围.