1 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是短轴的一个端点，且为等腰直角三角形，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过的直线与交于，两点，是线段的中点，过点的直线的方程为，直线与交于点，求证：为定值．

2 . 设椭圆C：的焦点为，，右顶点为M，过点斜率为k（）的直线与椭圆C交于A，B两点，三角形的周长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)以M为圆心，半径为的圆与椭圆的另一个交点为，证明：直线过定点．

3 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率等于，点，且的面积等于．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于A，B两点，当点A关于y轴的对称点在直线PB上时，直线是否过定点?若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由．

4 . 已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．

(1)求椭圆的方程；
(2)求线段MN的长度的最小值；
(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为，若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由．

5 . 设椭圆过，两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)椭圆E的右顶点为D，直线与椭圆E交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若其满足，且直线l与以原点为圆心半径为的圆相切，求直线l的方程.

6 . 如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面α相切，两个球分别与平面α相切于点，，丹德林（）利用这个模型证明了平面x与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面α截圆锥得的是焦点在x轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点V到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点Q的坐标为（，0），过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，直线BQ与直线交于点E，试问直线EA是否垂直于直线l？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由.

7 . 已知焦点在x轴上的椭圆C经过点，且离心率为，则椭圆C的方程为______．

8 . 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若不经过点的直线与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究△的周长是否为定值，若是，求出定值;若不是，请说明理由.

9 . 已知椭圆的一个焦点为，离心率为，点P为圆上任意一点，为坐标原点．
(1)记线段OP与椭圆C的交点为Q，求的取值范围；
(2)设直线l经过点P，且与椭圆C相切，与圆M相交于另一点A，点A关于原点的对称点为B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．

10 . 已知椭圆过，两点．设为第一象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)设椭圆的右顶点为，求证：三角形的面积等于三角形的面积；
(3)指出三角形的面积是否存在最大值和最小值，若存在，写出最大值，最小值（只需写出结论）．