1 . 已知双曲线的渐近线方程为的焦距为,且.
(1)求的标准方程;
(2)若为上的一点,且为圆外一点,过作圆的两条切线,(斜率都存在),与交于另一点与交于另一点,证明:
(i)的斜率之积为定值;
(ii)存在定点,使得关于点对称.
(1)求的标准方程;
(2)若为上的一点,且为圆外一点,过作圆的两条切线,(斜率都存在),与交于另一点与交于另一点,证明:
(i)的斜率之积为定值;
(ii)存在定点,使得关于点对称.
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2 . 已知双曲线的一条渐近线方程为,右焦点为.
(1)求C的标准方程;
(2)过点F且相互垂直的两条直线和分别与C交于点A,B和点P,Q,记的中点分别为M,N,求证:直线过定点.
(1)求C的标准方程;
(2)过点F且相互垂直的两条直线和分别与C交于点A,B和点P,Q,记的中点分别为M,N,求证:直线过定点.
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3 . 已知双曲线是双曲线的左顶点,直线.
(1)设直线过定点,且交双曲线于两点,求证:直线与的斜率之积为定值;
(2)设直线与双曲线有唯一的公共点.
(i)已知直线与双曲线的两条渐近线相交于两点,求证:;
(ii)过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点,当点运动时,求点的轨迹方程.
(1)设直线过定点,且交双曲线于两点,求证:直线与的斜率之积为定值;
(2)设直线与双曲线有唯一的公共点.
(i)已知直线与双曲线的两条渐近线相交于两点,求证:;
(ii)过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点,当点运动时,求点的轨迹方程.
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解题方法
4 . 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2,离心率为.
(1)求双曲线的方程;
(2)直线与双曲线有唯一的公共点,求的值.
(1)求双曲线的方程;
(2)直线与双曲线有唯一的公共点,求的值.
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5 . 已知双曲线与直线:()有唯一的公共点,直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点,其中点,在第一象限.
(1)探求参数,满足的关系式;
(2)若为坐标原点,为双曲线的左焦点,证明:.
(1)探求参数,满足的关系式;
(2)若为坐标原点,为双曲线的左焦点,证明:.
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2024-02-20更新
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1080次组卷
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2卷引用:湖南省长沙市2024届高三上学期新高考适应性考试数学试卷
6 . 已知双曲线的离心率为,且左焦点到渐近线的距离为.过作直线分别交双曲线于和,且线段的中点分别为,.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线斜率的乘积为,试探究:是否存在定圆,使得直线被圆截得的弦长恒为4?若存在,请求出圆的标准方程;若不存在,请说明理由.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线斜率的乘积为,试探究:是否存在定圆,使得直线被圆截得的弦长恒为4?若存在,请求出圆的标准方程;若不存在,请说明理由.
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7 . 已知双曲线的两个焦点的坐标分别是,且双曲线经过圆的圆心.
(1)求的值;
(2)设圆与双曲线的渐近线交于两点,求.
(1)求的值;
(2)设圆与双曲线的渐近线交于两点,求.
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8 . 已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知过点的直线与交于,两点,线段的中垂线与的准线交于点,且线段的中点为,求的最小值.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知过点的直线与交于,两点,线段的中垂线与的准线交于点,且线段的中点为,求的最小值.
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9 . 已知双曲线的渐近线为,双曲线与双曲线C的渐近线相同,过双曲线的右顶点的直线与,在第一、四象限围成三角形面积的最小值为8.
(1)求双曲线的方程;
(2)点P是双曲线上任意一点,过点P作依次与双曲线C和交于A,B两点,再过点P作依次与双曲线C和交于E,F两点,证明:为定值.
(1)求双曲线的方程;
(2)点P是双曲线上任意一点,过点P作依次与双曲线C和交于A,B两点,再过点P作依次与双曲线C和交于E,F两点,证明:为定值.
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10 . 双曲线:,已知为坐标原点,为双曲线上一动点,过作、分别垂直于两条渐近线,垂足为、,设,,
(1)求证:
(2)若双曲线实轴长为4,虚轴长为2,过分别作、平行于渐近线且与渐近线交于、两点,设的面积为,的面积为,求的范围.
(1)求证:
(2)若双曲线实轴长为4,虚轴长为2,过分别作、平行于渐近线且与渐近线交于、两点,设的面积为,的面积为,求的范围.
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