1 . 已知是平面直角坐标系的原点，是抛物线：（）的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，且的重心为在曲线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)记曲线与轴的交点为，且直线与轴相交于点，弦的中点为，求四边形面积的最小值．

3 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点是椭圆与轴负半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知斜率大于0的直线与椭圆有唯一的公共点，过点作直线的平行线交椭圆于点，若的面积为，求直线的方程.

4 . 已知椭圆的面积为，点在椭圆上，点A关于x轴，y轴，原点的对称点分别为B，C，D，记四边形ABDC的面积为S，则的取值范围为______．

5 . 已知双曲线：过点，且右焦点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值.
(3)在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积.

6 . 椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点是椭圆上任一点，则该椭圆在点处的切线方程为.已知是椭圆上除顶点之外的任一点，椭圆在点处的切线和过点垂直于该切线的直线分别与轴交于点、.
（i）求证：.
（ii）在椭圆上是否存在点，使得的面积等于1，如果存在，试求出点坐标，若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆的一个焦点坐标为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆C上，且直线与的斜率之积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线与椭圆分别相交于M，N两点，直线（O为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E，求的面积S的最大值．

8 . 已知椭圆的短轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l与圆相切，与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值．

9 . 已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的短轴长为，点是椭圆上异于长轴端点的动点，且当的面积取得最大值时，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与分别交椭圆于点，（均异于点），求的值．

10 . 如图，已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，交直线，于点C，D，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.当l的斜率为2时，AB中点的纵坐标为1.


(1)求抛物线的标准方程；
(2)记△的外接圆面积为，的外接圆面积为，求的最大值.