1 . 已知抛物线
，直线
与抛物线
交于不同的两点
为坐标原点．
(1)若
，求证：直线过定点；
(2)若直线的方程为
，且与
轴交于点
，是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过抛物线上任意一点
作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点
时，总有直线
也与圆相切？若存在，求出此时
的值；若不存在，请说明理由．
，直线与抛物线交于不同的两点为坐标原点．(1)若
，求证：直线过定点；(2)若直线
的方程为，且与轴交于点，是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
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2 . 如图，已知双曲线
的离心率为2，点
在
上，
为双曲线的左、右顶点，
为右支上的动点，直线
和直线
交于点
，直线
交的右支于点．的方程；
(2)探究直线
是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
(3)设
分别为
和
的外接圆面积，求
的取值范围．
的离心率为2，点在上，为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线和直线交于点，直线交的右支于点．
的方程；(2)探究直线
是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；(3)设
分别为和的外接圆面积，求的取值范围．
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名校
解题方法
3 . 已知椭圆C：
的右焦点为
，右顶点为A，直线l：
与x轴交于点M，且
，
(1)求C的方程；
(2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q，
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，
？若存在，求
；若不存在，请说明理由.
的右焦点为，右顶点为A，直线l：与x轴交于点M，且，(1)求C的方程；
(2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q，
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，
？若存在，求；若不存在，请说明理由.
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2024-04-15更新
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1726次组卷
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3卷引用：江苏省南京市、盐城市2024届高三第一次模拟考试数学试题
名校
4 . 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点
的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆
是直线族
的包络曲线，求
满足的关系式；
(2)若点
不在直线族：
的任意一条直线上，求
的取值范围和直线族
的包络曲线；
(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线
，其交点为.已知点
，若
三点不共线，探究
是否成立？请说明理由.
表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆
是直线族的包络曲线，求满足的关系式；(2)若点
不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；(3)在（2）的条件下，过曲线
上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
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2024-04-12更新
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1255次组卷
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2卷引用：湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题
2024·全国·模拟预测
解题方法
5 . 已知直线
与抛物线
交于两点，且
．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知直线
与抛物线交于
两点（异于点），直线
与
交于点，直线
与
交于点，证明：直线与轴交于定点．
与抛物线交于两点，且．(1)求抛物线
的标准方程；(2)已知直线
与抛物线交于两点（异于点），直线与交于点，直线与交于点，证明：直线与轴交于定点．
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2024·全国·模拟预测
解题方法
6 . 已知双曲线
的两条渐近线方程为
分别为双曲线的顶点，且
．
(1)求双曲线的方程．
(2)已知
为坐标原点，直线
与双曲线交于
两点，且
，求
的值．
(3)设动点
，直线
与双曲线分别交于两点．求证：直线过定点．
的两条渐近线方程为分别为双曲线的顶点，且．(1)求双曲线
的方程．(2)已知
为坐标原点，直线与双曲线交于两点，且，求的值．(3)设动点
，直线与双曲线分别交于两点．求证：直线过定点．
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7 . 已知椭圆
，点
是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点
为椭圆与
轴正半轴的顶点，且离心率为
，过点
的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点．
(1)求椭圆的标准方程，并求面积的最大值；
(2)探究直线
和直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由；
(3)若圆的方程为
，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点．
，点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与轴正半轴的顶点，且离心率为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点．(1)求椭圆
的标准方程，并求面积的最大值；(2)探究直线
和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由；(3)若圆
的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点．
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解题方法
8 . 已知双曲线的中心为坐标原点，其右焦点到渐近线的距离为
，离心率为
，
(1)求双曲线
的标准方程；(2)记双曲线
的左、右顶点分别为，点
为双曲线的右支上异于点的动点，直线
与直线相交于点，直线
与双曲线的另一个交点为，直线
垂直
于点，问是否存在点，使得
为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由，
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解题方法
9 . 已知双曲线
的左､右顶点分别为，右焦点为
.过点的直线与双曲线相交于
两点，点关于轴的对称点为
，且直线
的斜率之积为
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线
分别与直线相交于两点，求证：以为直径的圆经过轴上的定点，并求出定点的坐标.
的左､右顶点分别为，右焦点为.过点的直线与双曲线相交于两点，点关于轴的对称点为，且直线的斜率之积为.(1)求双曲线
的标准方程；(2)直线
分别与直线相交于两点，求证：以为直径的圆经过轴上的定点，并求出定点的坐标.
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2024-03-23更新
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539次组卷
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2卷引用：四川省成都市2024届高三下学期第二次诊断性检测文科数学试题
名校
10 . 在平面直角坐标系中，点
在抛物线
上.
(1)求
的准线方程.(2)已知点
，
，
是的两条切线，，是切点，圆经过点，，.①若
，求证：
；
②设圆在，处的切线的交点为，求证：直线
过定点.
附：若点
在圆
上，则圆在点处的切线方程为
.
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