解题方法
1 . 为得到某种作物种子的发芽率，某一中学生物兴趣小组的同学进行了如下研究：在不同的昼夜温差下统计每100颗种子的发芽数，得到了以下数据：
通过画散点图，同学们认为
和
之间存在线性相关关系，经讨论大家制定了如下规则：从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，检验方法如下：用求得的线性回归方程分别计算剩余两组数据中昼夜温差数所对应的发芽数
，再求与实际发芽数的差值，若差值的绝对值都不超过2，则认为所求方程是“合适的回归方程”．
（参考公式：线性回归方程中
，
的最小二乘估计分别为：
，
）
(1)请根据表中的后三组数据，求关于的线性回归方程
；
(2)按照题目中的检验方法判断（1）中得到的方程是否是“合适的回归方程”；
| 昼夜温差（℃） | 8 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 发芽数（颗） | 79 | 81 | 85 | 86 | 90 |
通过画散点图，同学们认为
和之间存在线性相关关系，经讨论大家制定了如下规则：从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，检验方法如下：用求得的线性回归方程分别计算剩余两组数据中昼夜温差数所对应的发芽数，再求与实际发芽数的差值，若差值的绝对值都不超过2，则认为所求方程是“合适的回归方程”．（参考公式：线性回归方程中
，的最小二乘估计分别为：，）(1)请根据表中的后三组数据，求
关于的线性回归方程；(2)按照题目中的检验方法判断（1）中得到的方程是否是“合适的回归方程”；
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解题方法
2 . 立德中学为了迎接“冬奥会”，号召全校教职工参与“微信运动”活动．该校的200名教职工都参与了“微信运动”活动，且每月进行一次评比，对该月每日运动都达到10000步及以上的教职工授予该月“冰墩墩达人”称号，其余教职工均称为“参与者”．下表是该校200名教职工2021年7月到11月获得“冰墩墩达人”称号的统计数据：
(1)由表中看，可用线性回归模型拟合“冰墩墩达人”教职工数y与月份编号x之间的关系式．求y关于x的回归直线方程，并预测该校12月份获得“冰墩墩达人”称号的教职工数；
(2)为了进一步了解教职工的运动情况，选取9月份的运动数据进行分析，统计结果如下：
请补充表中的数据（直接写出b，c的值）并根据表中数据判断是否有99.9%的把握认为获得“冰墩墩达人”称号与性别有关？
参考公式及数据：
，
，
，其中
．
实际月份（月） | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
月份编号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
“冰墩墩达人”教职工数y（人） | 135 | 145 | 150 | 155 | 165 |
(1)由表中看，可用线性回归模型拟合“冰墩墩达人”教职工数y与月份编号x之间的关系式．求y关于x的回归直线方程
，并预测该校12月份获得“冰墩墩达人”称号的教职工数；(2)为了进一步了解教职工的运动情况，选取9月份的运动数据进行分析，统计结果如下：
冰墩墩达人 | 参与者 | 总计 | |
男职工 | 70 | b | 80 |
女职工 | c | 40 | 120 |
总计 | 150 | 50 | 200 |
请补充表中的数据（直接写出b，c的值）并根据表中数据判断是否有99.9%的把握认为获得“冰墩墩达人”称号与性别有关？
参考公式及数据：
，，，其中．
| 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解题方法
3 . 某电器企业统计了近10年的年利润额y（千万元）与投入的年广告费用x（十万元）的相关数据，散点图如图．
选取函数
作为年广告费用x和年利润额y的回归类型．令
，则
，则对数据作出如下处理：令
，得到相关数据如表所示：
(1)求出y与x的回归方程；
(2)预计要使年利润额突破2亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）参考数据：
．
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．
选取函数
作为年广告费用x和年利润额y的回归类型．令，则，则对数据作出如下处理：令，得到相关数据如表所示：
|
|
|
|
30.5 | 15 | 15 | 46.5 |
(1)求出y与x的回归方程；
(2)预计要使年利润额突破2亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）参考数据：
．参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 您最近半年使用：0次
解题方法
4 . 
，
是河道分布密集、水患严重的西部两邻县．从2015年开始，沿海
市对县对口整治河道．市2015年对县河道整治投入40亿元，以后河道整治投入逐年减少
亿元（
是常数，
．县则由当地市级机关下派第一书记，单位承包到镇（乡）河道，实行河长负责，市民承包到河段的责任制．如表是从2015年到2019年，对县以每年为单位的河道整治投入额：
(1)用最小二乘法求对县的河道整治投入 额与投入年份代号
的回归方程；
(2)，两县人口分别为58万和42万，请比较对，两县从2015年至2020年这6年人均河道整治投入的大小（对县2020年的河道整治投入取回归方程的估计值）
参考公式及数据：
，
，
，
．
，．
，是河道分布密集、水患严重的西部两邻县．从2015年开始，沿海市对县对口整治河道．市2015年对县河道整治投入40亿元，以后河道整治投入逐年减少亿元（是常数，．县则由当地市级机关下派第一书记，单位承包到镇（乡）河道，实行河长负责，市民承包到河段的责任制．如表是从2015年到2019年，对县以每年为单位的河道整治投入额：投入年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年分代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年河道整治投入额y（亿元） | 30 | 24 | 22 | 18 | 16 |
(1)用最小二乘法求对
县的河道整治投入 额与投入年份代号的回归方程；(2)
，两县人口分别为58万和42万，请比较对，两县从2015年至2020年这6年人均河道整治投入的大小（对县2020年的河道整治投入取回归方程的估计值）参考公式及数据：
，，，．，． 您最近半年使用：0次
解题方法
5 . 为调查某地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的
个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取
个作为样区，调查得到样本数据
，其中
和
分别表示第
个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，据分析野生动物的数量与植物覆盖面积线性相关并计算得
，
，
，
．
(1)求该地区植物覆盖面积和野生动物数量的回归直线方程；
(2)根据上述方程，预计该地区一块植物覆盖面积为
公顷的地块中这种野生动物的数量．
参考公式：回归直线方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，据分析野生动物的数量与植物覆盖面积线性相关并计算得，，，．(1)求该地区植物覆盖面积和野生动物数量的回归直线方程；
(2)根据上述方程，预计该地区一块植物覆盖面积为
公顷的地块中这种野生动物的数量．参考公式：回归直线方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 您最近半年使用：0次
解答题 | 一般（0.65） | 2022·全国·高二课时练习
解题方法
同步 6 . 某生物研究所为研究某种昆虫的产卵数和温度
的关系，经过一段时间观察，收集到如下数据：
以该种昆虫的产卵数和温度为变量，作出如图所示的散点图，现分别用模型①
与模型②
进行分析．
(1)请利用模型②建立两个变量之间的函数关系式（系数保留两位小数）；
(2)已知模型①的回归直线方程为
，模型②的样本相关系数
，请根据相关系数判断哪个模型的拟合效果更好；
(3)该种昆虫的防治以喷洒杀虫剂为主，其防治成本
与温度和产卵数的关系为
，用（2）中得出的拟合效果最好的模型计算，当温度（取整数）为何值时，昆虫的防治成本的预估值最小？
附：对于一组数据
、
、…、
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，，样本相关系数
．
参考数据：
，
，设
，则
，
．
和温度的关系，经过一段时间观察，收集到如下数据：
|
|
|
|
|
|
|
|
产卵数 |
|
|
|
|
|
|
|
以该种昆虫的产卵数
和温度为变量，作出如图所示的散点图，现分别用模型①与模型②进行分析．(1)请利用模型②
建立两个变量之间的函数关系式（系数保留两位小数）；(2)已知模型①的回归直线方程为
，模型②的样本相关系数，请根据相关系数判断哪个模型的拟合效果更好；(3)该种昆虫的防治以喷洒杀虫剂为主，其防治成本
与温度和产卵数的关系为，用（2）中得出的拟合效果最好的模型计算，当温度（取整数）为何值时，昆虫的防治成本的预估值最小？附：对于一组数据
、、…、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，样本相关系数．参考数据：
，，设，则，． 您最近半年使用：0次
解题方法
7 . 某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的统计数据如下表：
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，
．
| 年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
| 年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，． 您最近半年使用：0次
解题方法
8 . 经过全党全国各族人民的共同努力，在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国的脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！2022年元月份大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对某村居民从2016~2021年每年的人均收入进行了细致地调查，获得该村居民的年人均收入y（百元）和年份代码x的数据如表所示，并发现y与x之间存在线性相关关系．
(1)利用2016~2020年的相关数据，求y关于x的线性回归方程；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与表中剩下的实际数据的误差不超过60元，则认为所得到的线性回归方程是理想可靠的，试问（1）中所得到的线性回归方程是否理想可靠？若可靠，求出该村2022年的年人均收入的估计值；若不可靠，请说明理由．
参考公式：回归直线方程中，
，．
参考数据：
，
．
年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
年份代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年人均收入y（百元） | 16 | 44 | 76 | 127 | 162 | 197 |
(1)利用2016~2020年的相关数据，求y关于x的线性回归方程
；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与表中剩下的实际数据的误差不超过60元，则认为所得到的线性回归方程是理想可靠的，试问（1）中所得到的线性回归方程是否理想可靠？若可靠，求出该村2022年的年人均收入的估计值；若不可靠，请说明理由．
参考公式：回归直线方程
中，，．参考数据：
，． 您最近半年使用：0次
9 . 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
(1)请根据表中数据建立关于的经验回归方程，若每天售出8箱水，求预计收益是多少元？
(2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为
，获二等奖学金的概率均为
，不获得奖学金的概率均为
．
①在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率；
②已知甲、乙两名学生获得哪个等次的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额
的分布列及数学期望．
附：
，
，
，
，
，
| 售出水量（单位：箱） | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
| 收益（单位：元） | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
(1)请根据表中数据建立
关于的经验回归方程，若每天售出8箱水，求预计收益是多少元？(2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为
，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．①在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率；
②已知甲、乙两名学生获得哪个等次的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额
的分布列及数学期望．附：
，，，，， 您最近半年使用：0次
解题方法
10 . 已知具有相关关系的两个变量，之间的几组数据如下表所示：
(1)求
，
；
(2)根据上表中的数据，求出关于的线性回归方程；并估计当
时的值.
附：对于一组数据
，其回归方程的斜率和截距的.最小二乘估计公式分别为：
，.注：根据上表所给数据可算出
.
，之间的几组数据如下表所示： | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 4 | 5 | 7 | 10 | 9 |
(1)求
，；(2)根据上表中的数据，求出
关于的线性回归方程；并估计当时的值.附：对于一组数据
，其回归方程的斜率和截距的.最小二乘估计公式分别为：，.注：根据上表所给数据可算出. 您最近半年使用：0次
