1 . 冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在全市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：

（1）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率.
（2）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化?请说明理由.

2 . 在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的､两所同类学校的高三学年分别采用甲､乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为及以上的学生为优秀学生.经统计得到两所学校抽取的学生中共有名优秀学生，且学校的优秀学生占该校抽取总人数的.
（1）填写下面的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.
（2）在学校的名学生中依据综合测评是否优秀进行分层抽样，抽取容量为的样本，在名学生中随机抽取名同学，求名同学都是优秀学生的概率.

	优秀学生	非优秀学生	合计
甲方案
乙方案
合计

附：，其中.

3 . 在机械化生产车间里，工人们在排列整齐的工作台旁紧张地生产同一种产品，工作台上方一条传送带在运转，带上设置若干钩子，钩子均匀排列，如图，工人将产品挂在经过他上方的钩子上带走．当生产进入稳定状态后，每个工人生产一件产品所需时间是不变的，而他挂产品的时刻是随机的．每个工人在任何时刻都能触到一只钩子，且只能触到一只，在他生产出一件产品的瞬间，如果他能触到的钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果非空，则他只能将产品放下．放下的产品就永远退出这个传送系统．衡量这种传送系统的效率可以看它能否及时把工人的产品带走．显然，在工人数目不变的情况下传送带速度越快，带上钩子数越多，效率越高．设在一个周期内有m个钩子通过每一工作台上方，且到达第一个工作台上方的钩子都是空的．可将传送系统的效率D 定义为一个周期内（每个工人只生产一件产品）带走的产品数s与生产的全部产品数n之比，且满足关系，p为一个周期内每只钩子为空钩的概率．

（1）当m=3，n=4时，求D的值；
（2）若m远大于n，试研究提高传送带效率的途径．

4 . 已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12.现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查.
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？
（Ⅱ）现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人来自同一兴趣小组的概率.

5 . 某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生调查，从三个年级抽取人数的比例为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1 200人，并从中抽取了40人.

（1）该校的总人数为多少?
（2）三个年级分别抽取多少人?

6 . 某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为、购买的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率也是，如此往复.记某人第次来购买产品的概率为.
（1）求，并证明数列是等比数列；
（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有个人购买产品，求的分布列并求；
（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备、产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.

7 . 某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.已知甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86.

（1）求x，y的值；
（2）设成绩在85分以上（含85分）的学生为优秀学生.从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩为事件A，求事件A发生的概率.

8 . 某高校的入学面试中有4道不同的题目，每位面试者都要回答这4道题目．已知李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为假设对这4道题目能否答对是独立的，该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试．用A_i表示事件“李明答对第i道题”（i＝1，2，3，4）．
（1）写出所有的样本点；
（2）求李明通过面试的概率．

9 . “绿水青山就是金山银山”，为了响应国家政策，我市环保部门对市民进行了一次环境保护知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的50人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：

组别
男	1	2	2	10	9	6
女	0	5	5	5	3	2

若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环境保护关注者”，则上图中表格可得列联表如下：

	非“环境保护关注者”	是“环境保护关注者”	合计
男
女
合计

（1）请完成上述列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“环境保护关注者”与性别有关？
（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环境保护达人”，现在从本次调查的“环境保护达人”中利用分层抽样的方法抽取4名市民参与环保知识问答，再从这4名市民中随机抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环境保护达人”又有女“环境保护达人”的概率.
附表及公式：，其中.

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

10 . “五一”期间，甲乙两个商场分别开展促销活动.
（Ⅰ）甲商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖一次，从装有大小、形状相同的4个白球、4个黑球的袋中摸出4个球，中奖情况如下表：

摸出的结果	获得奖金（单位：元）
4个白球或4个黑球	200
3个白球1个黑球或3个黑球1个白球	20
2个黑球2个白球	10

记为抽奖一次获得的奖金，求的分布列和期望.
（Ⅱ）乙商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖10次.其中，第次抽奖方法是：从编号为的袋中（装有大小、形状相同的个白球和个黑球）摸出个球，若该次摸出的个球颜色都相同，则可获得奖金元；记第次获奖概率.设各次摸奖的结果互不影响，最终所获得的总奖金为10次奖金之和.
①求证：；
②若某顾客购买120元的商品，不考虑其它因素，从获得奖金的期望分析，他应该选择哪一家商场？