解题方法
1 . 第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行.这是中国为世界呈现的体育盛会，也是亚洲人民携手写就的崭新篇章.现有某场乒乓球比赛采用5局3胜制，先赢3局的一方获胜，比赛结束.若参加比赛的甲每局比赛战胜对手乙的概率均为
.假设各局比赛结果相互独立.
(1)求比赛恰好进行4局甲获胜的概率；
(2)设比赛进行的总局数为
，求的分布列和数学期望；
(3)如果某场比赛赛前有3局2胜制和5局3胜制两种方案供选手选择，从概率角度考虑，乙如何选择对自己有利？请直接写出选择方案.
.假设各局比赛结果相互独立.(1)求比赛恰好进行4局甲获胜的概率；
(2)设比赛进行的总局数为
，求的分布列和数学期望；(3)如果某场比赛赛前有3局2胜制和5局3胜制两种方案供选手选择，从概率角度考虑，乙如何选择对自己有利？请直接写出选择方案.
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2 . 已知函数
.
(1)若
有零点，求实数
的取值范围；
(2)若
，函数
的值域为
，且
，求
的取值范围；
(3)当
时，是否存在这样的实数，使得方程
在区间
内有且只有一个根？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
.(1)若
有零点，求实数的取值范围；(2)若
，函数的值域为，且，求的取值范围；(3)当
时，是否存在这样的实数，使得方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
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解题方法
3 . 已知函数
与
的定义域均为
，若对任意的
都有
成立，则称函数是函数在上的“L函数”.
(1)若
，判断函数是否是函数在上的“
函数”，并说明理由；
(2)若
，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围；
(3)若
，函数是函数在上的“函数”，且
，求证：对任意的都有
.
与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.(1)若
，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；(2)若
，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围；(3)若
，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有.
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2024高三·全国·专题练习
4 . 在解决建筑设计时，一名工程师将实际问题的条件数学化后，问题变为：已知角
，且
，需要求
的最小值．请你帮助工程师判断
是否有最小值；如果有，则采用什么方法解决该问题？
，且，需要求的最小值．请你帮助工程师判断是否有最小值；如果有，则采用什么方法解决该问题？
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
5 . 设集合
，是否存在实数
，使
？
，是否存在实数，使？
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
6 . 对任意长方体
，是否存在一个与等高的长方体
，使得与的侧面积之比与体积之比都等于常数
？
，是否存在一个与等高的长方体，使得与的侧面积之比与体积之比都等于常数？
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7 . 已知抛物线
，其顶点在坐标原点，直线
与抛物线交于M，N两点，且
．
(1)求抛物线O的方程．
(2)已知
，
，
，
是抛物线O上的三个点，且任意两点连线斜率都存在．其中
，
均与
相切，请判断此时圆心
到直线
的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
，其顶点在坐标原点，直线与抛物线交于M，N两点，且．(1)求抛物线O的方程．
(2)已知
，，，是抛物线O上的三个点，且任意两点连线斜率都存在．其中，均与相切，请判断此时圆心到直线的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
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8 . 在平面直角坐标系内，已知
两点关于原点对称，且
的坐标为
. 曲线上的动点
满足当直线
的斜率
都存在时，
.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线
过点
且与曲线交于
两点，问是否存在定点
，使得直线
关于
轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
两点关于原点对称，且的坐标为. 曲线上的动点满足当直线的斜率都存在时，.(1)求曲线
的方程；(2)已知直线
过点且与曲线交于两点，问是否存在定点，使得直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
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解题方法
9 . 空间中的平面可以用代数方程表示：过点
且一个法向量为
的平面
的方程为
.已知平面的方程为
，直线是两个平面
与
的交线，则直线与平面所成的角的正弦值是__________ .
且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成的角的正弦值是
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2023·全国·模拟预测
10 . 已知椭圆
（
，
）的离心率为
，其左、右焦点分别为
，
，
为椭圆
上任意一点，
面积的最大值为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点
的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线
的垂线，垂足分别为，
，记
，
，
的面积分别为
，
，
，试问：是否存在正数
，使得，
，总成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（，）的离心率为，其左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1．(1)求椭圆
的标准方程；(2)过点
的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在正数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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