1 . 已知函数，若两不相等的实数满足曲线在点和点处的切线斜率相等，求证:.

2 . 已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.

3 . 设A，B是椭圆上异于的两点，且直线AB经过坐标原点，直线PA，PB分别交直线于C，D两点．
(1)求证：直线PA，AB，PB的斜率成等差数列；
(2)求面积的最小值．

4 . .如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 已知动点P到直线l：的距离比到定点的距离多1.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于另外一点B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标.

6 . 已知函数，，其中是自然对数的底数．
(1)当,，求的取值范围；
(2)当时，求证：.

7 . 已知
（1）对一切恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：对一切，都有成立．

8 . 已知函数在上满足，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意、，不等式恒成立.

9 . 已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为.证明：
（）直线的斜率与的斜率的乘积为定值.
（）若过点，延长线段与交于点，当四边形为平行四边形时，则直线的斜率.

10 . 已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.