1 . 已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，.
(1)求抛物线的方程.
(2)若平行于x轴，证明：S在抛物线C上.
(3)在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围.

2 . 已知
(1)将，，，按由小到大排列，并证明；
(2)令 求证: 在内无零点.

3 . 如图，在区间上，曲线与轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则.设函数

(1)若，求的值；
(2)已知，点，过点的直线分别交于两点（在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用表示）并证明：：
(3)函数有两个不同的零点，比较与的大小，并说明理由.

4 . 已知.
(1)若存在两个不同的使得的最小值为0，证明：；
(2)设（为常数），且当恒成立时，的最小值为，求的取值集合.

5 . 设点分别为函数图象上一点，定义为两点间欧几里得距离，为两点间曼哈顿距离.
(1)证明；
(2)设函数，求的最小值；
(3)设为正实数，函数，对于函数图象上的点有的最小值为4，求的取值.

6 . 有一水平直角通道，其宽度分别为1米和米.现要将一批钢管从通道水平抬至通道.为了计算能抬过去的钢管最大长度，建立模型如图所示，设一根长度为的钢管经过点且两端与通道壁恰好接触于，两点时，钢管与通道壁的夹角为（不计钢管直径）.

(1)求长度与的函数关系式；
(2)问能否将一长度为9米的钢管水平抬过去，请说明理由.

7 . 突破技术封锁、打破国外技术垄断，实现高水平科技自立自强，正是企业坚持独立自主的一种重要体现.我国某企业为突破技术难题，组织多个科研团队，加大对某项电子产品的研发投入.已知该项电子产品年产量不低于1万件且不高于8万件，根据以往数据显示，每年研发投入固定费用为万元，每生产万件增加投入万元，且生产的都能销售完，预计2024年销售收入（单位：万元）与销量（单位：万件）之间满足关系式.
(1)写出该企业2024年的利润（单位：万元）关于该产品的销量的函数解析式；
(2)该产品2024年的销量目标定为多少万件时，该企业能从中获利最大?最大利润为多少?

8 . 已知偶函数和奇函数均为幂函数，，且.
(1)若，证明：；
(2)若，，且，求的取值范围；
(3)若，，，证明：在区间单调递增.

9 . 在平面直角坐标系中，已知三点，曲线C上任意一点满足：．
(1)求曲线C的方程；
(2)设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为．试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；
(3)设曲线C与y轴交于D、E两点，点在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为时，取得最小值，求实数m的取值范围．

10 . 已知点是椭圆：的一个顶点．
(1)若椭圆的焦点分别为、，求的面积；
(2)设、是椭圆上相异的两点，有如下命题：“若，则与关于轴对称”；请判断该命题的真假，并说明理由．