1 . 有一水平直角通道，其宽度分别为1米和米.现要将一批钢管从通道水平抬至通道.为了计算能抬过去的钢管最大长度，建立模型如图所示，设一根长度为的钢管经过点且两端与通道壁恰好接触于，两点时，钢管与通道壁的夹角为（不计钢管直径）.

(1)求长度与的函数关系式；
(2)问能否将一长度为9米的钢管水平抬过去，请说明理由.

2 . 突破技术封锁、打破国外技术垄断，实现高水平科技自立自强，正是企业坚持独立自主的一种重要体现.我国某企业为突破技术难题，组织多个科研团队，加大对某项电子产品的研发投入.已知该项电子产品年产量不低于1万件且不高于8万件，根据以往数据显示，每年研发投入固定费用为万元，每生产万件增加投入万元，且生产的都能销售完，预计2024年销售收入（单位：万元）与销量（单位：万件）之间满足关系式.
(1)写出该企业2024年的利润（单位：万元）关于该产品的销量的函数解析式；
(2)该产品2024年的销量目标定为多少万件时，该企业能从中获利最大?最大利润为多少?

3 . 已知点是椭圆：的一个顶点．
(1)若椭圆的焦点分别为、，求的面积；
(2)设、是椭圆上相异的两点，有如下命题：“若，则与关于轴对称”；请判断该命题的真假，并说明理由．

4 . 已知A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，过点作直线HA，HB分别交于另一点D，C.
(1)求直线HA，HB的一般式方程;
(2)求直线CD的斜率.

5 . 已知焦点在轴上的椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，坐标原点为.，，三点满足，且为椭圆与圆：的一个切点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为过的直线，与圆交于两点，求的取值范围．

6 . 已知斜率为1的直线与曲线相切.
(1)求直线的方程;
(2)若直线分别交曲线和于M，N两点，求的面积的最大值.（其中0为坐标原点）

7 . 已知函数，．
(1)当时，证明：在上恒成立；
(2)当时，证明：，；
(3)是希腊字母，即的大写形式，在数学中表示求积运算或直积运算，形式上类似于，如．证明：．

8 . 已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，记直线的斜率分别为，且满足.
①求点的轨迹方程；
②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，切线分别交抛物线于不同的两点和点，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.

9 . 已知，且，点P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)直线l：与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上．
（ⅰ）若是等边三角形，求实数k的值；
（ⅱ）若，求面积的取值范围．

10 . 已知椭圆，抛物线.若直线与曲线交于点、，直线与曲线分别交于点、．当时，则称直线是曲线与的“等弦线”．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程；
(3)已知点，，证明：过点存在与的“等弦线”．