1 . 已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）当时，证明：．

2 . 已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.
（1）求C的方程.
（2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上.

3 . 已知函数(，为自然对数的底数)
（1）求函数的最小值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的值；
（3）求证：

4 . 已知函数
（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围;
（2）若函数，当时，证明：

5 . 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点是抛物线上异于点的两个不同的动点，当直线过点时，的最小值为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，证明：直线恒过定点.

6 . 已知函数有两个极值点，．
（1）求a的取值范围；
（2）证明：

7 . 设函数.
（1）当时，求函数的单调区间;
（2）当时，求证:

8 . 如图，已知抛物线C：的焦点为F，，，，四点都在抛物线上，直线AP与直线BQ相交于点F，且直线AB的斜率为1．

（1）求和的值；
（2）证明直线PQ过定点，并求出该定点．

9 . 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点到的距离比点到轴的距离大1．过点作抛物线的切线，设其斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线相交于不同的两点，（异于点），若直线与直线的斜率互为相反数，证明：．

10 . 已知椭圆的离心率为，以的长轴为直径的圆的方程为.
（1）求的方程；
（2）直线与轴平行，且与交于，两点，，分别为的左、右顶点.直线与交于点，证明：点与点的横坐标的乘积为定值.