1 . 正实数成等差数列，对，，已知方程有两个相等的实根，求的值.

2 . ，，则不超过2024的正整数中可以作为函数值的个数为______

3 . 如图，将个整数放入的宫格中，使得任意一行及任意一列的乘积为2或－2，记将个整数放入的宫格有种放法，则______，______．

4 . 有2024个半径均为1的球密布在正四面体内（相邻两球外切，且边上的球与正四面体的面相切），则此正四面体的外接球半径为________.

5 . 已知在中，.证明：
(1)；
(2)在上恒成立；
(3).

6 . 对的长方形方格带的某些小方格染色（染成红色），要求任何一个的正方形方格中至少有一个的小方格未被染色，这样的染色方式有__________种．

7 . 组合数学中有一著名问题——Hanoi问题：n个圆盘依其半径大小，从下而上套在A柱上，如图1所示．每次只允许取一个移到B柱或C柱上，而且不允许大盘放在小盘上方．问若要求把A柱上的n个盘移到C柱上要移动多少次（只有A，B，C三根柱子可用）．

8 . 如果，，1，2，…，其中a和q为常数，满足，试证收敛．

9 . 证明定理1：对，，有（*）

10 . 设个元素相乘：，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有多少种添加括号的方案？