1 . 已知椭圆:的左焦点为,为曲线:上的动点,且点不在轴上,直线交于,两点.
(1)证明:曲线为椭圆,并求其离心率;
(2)证明:为线段的中点;
(3)设过点,且与垂直的直线与的另一个交点分别为,,求面积的取值范围.
(1)证明:曲线为椭圆,并求其离心率;
(2)证明:为线段的中点;
(3)设过点,且与垂直的直线与的另一个交点分别为,,求面积的取值范围.
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2024-02-13更新
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1319次组卷
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3卷引用:浙江省名校协作体2024届高三下学期开学适应性考试数学试题
解题方法
2 . 阅读材料:
在平面直角坐标系中,若点与定点(或的距离和它到定直线(或)的距离之比是常数,则,化简可得,设,则得到方程,所以点的轨迹是一个椭圆,这是从另一个角度给出了椭圆的定义.这里定点是椭圆的一个焦点,直线称为相应于焦点的准线;定点是椭圆的另一个焦点,直线称为相应于焦点的准线.
根据椭圆的这个定义,我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离.若点在椭圆上,是椭圆的右焦点,椭圆的离心率,则点到准线的距离为,所以,我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式.
结合阅读材料回答下面的问题:
已知椭圆的右焦点为,点是该椭圆上第一象限的点,且轴,若直线是椭圆右准线方程,点到直线的距离为8.
(1)求点的坐标;
(2)若点也在椭圆上且的重心为,判断是否能构成等差数列?如果能,求出该等差数列的公差,如果不能,说明理由.
在平面直角坐标系中,若点与定点(或的距离和它到定直线(或)的距离之比是常数,则,化简可得,设,则得到方程,所以点的轨迹是一个椭圆,这是从另一个角度给出了椭圆的定义.这里定点是椭圆的一个焦点,直线称为相应于焦点的准线;定点是椭圆的另一个焦点,直线称为相应于焦点的准线.
根据椭圆的这个定义,我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离.若点在椭圆上,是椭圆的右焦点,椭圆的离心率,则点到准线的距离为,所以,我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式.
结合阅读材料回答下面的问题:
已知椭圆的右焦点为,点是该椭圆上第一象限的点,且轴,若直线是椭圆右准线方程,点到直线的距离为8.
(1)求点的坐标;
(2)若点也在椭圆上且的重心为,判断是否能构成等差数列?如果能,求出该等差数列的公差,如果不能,说明理由.
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解题方法
3 . 已知不过坐标原点且斜率为1的直线与椭圆交于点,,为的中点.
(1)求直线的斜率;
(2)设,直线,与椭圆的另一个交点分别为,(均异于椭圆顶点),证明:直线过定点.
(1)求直线的斜率;
(2)设,直线,与椭圆的另一个交点分别为,(均异于椭圆顶点),证明:直线过定点.
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解题方法
4 . 已知椭圆:,将绕原点逆时针方向旋转得到椭圆,将所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆,动点、在上,且,则( )
A.,的四个焦点构成一个正方形 | B.与离心率相等 |
C.的方程为 | D.线段的中点始终在直线上 |
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5 . 已知椭圆的两个焦点坐标分别为,离心率为,则( )
A.越接近,则就越接近于圆 |
B.越接近,则就越接近于圆 |
C.若经过点,则的长轴长为 |
D.若,动直线被椭圆截得的线段的中点均在直线上 |
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6 . 阅读材料:
(一)极点与极线的代数定义;已知圆锥曲线G:,则称点P(,)和直线l:是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上,在圆锥曲线方程中,以替换,以替换x(另一变量y也是如此),即可得到点P(,)对应的极线方程.特别地,对于椭圆,与点P(,)对应的极线方程为;对于双曲线,与点P(,)对应的极线方程为;对于抛物线,与点P(,)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线,每一对极点与极线是一一对应的关系.
(二)极点与极线的基本性质、定理
①当P在圆锥曲线G上时,其极线l是曲线G在点P处的切线;
②当P在G外时,其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线);
③当P在G内时,其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题:
(1)已知椭圆C:经过点P(4,0),离心率是,求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程;
(2)已知Q是直线l:上的一个动点,过点Q向(1)中椭圆C引两条切线,切点分别为M,N,是否存在定点T恒在直线MN上,若存在,当时,求直线MN的方程;若不存在,请说明理由.
(一)极点与极线的代数定义;已知圆锥曲线G:,则称点P(,)和直线l:是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上,在圆锥曲线方程中,以替换,以替换x(另一变量y也是如此),即可得到点P(,)对应的极线方程.特别地,对于椭圆,与点P(,)对应的极线方程为;对于双曲线,与点P(,)对应的极线方程为;对于抛物线,与点P(,)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线,每一对极点与极线是一一对应的关系.
(二)极点与极线的基本性质、定理
①当P在圆锥曲线G上时,其极线l是曲线G在点P处的切线;
②当P在G外时,其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线);
③当P在G内时,其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题:
(1)已知椭圆C:经过点P(4,0),离心率是,求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程;
(2)已知Q是直线l:上的一个动点,过点Q向(1)中椭圆C引两条切线,切点分别为M,N,是否存在定点T恒在直线MN上,若存在,当时,求直线MN的方程;若不存在,请说明理由.
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2023-02-19更新
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1054次组卷
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5卷引用:贵州省贵阳市普通中学2022-2023学年高二上学期期末监测考试数学试题
贵州省贵阳市普通中学2022-2023学年高二上学期期末监测考试数学试题(已下线)第五篇 向量与几何 专题5 调和点列 微点4 调和点列综合训练(已下线)重难点突破18 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题(四大题型)(已下线)专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳(9大题型)(练习)辽宁省名校联盟2023-2024学年高二下学期4月联合考试数学试卷
7 . 已知椭圆的C的方程:.
(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点,直线的斜率为,直线的斜率为,试证明为定值.
(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程.
(3)设椭圆上一点,且点M,N在C上,且,D为垂足.证明:存在定点Q,使得为定值.
(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点,直线的斜率为,直线的斜率为,试证明为定值.
(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程.
(3)设椭圆上一点,且点M,N在C上,且,D为垂足.证明:存在定点Q,使得为定值.
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2022-06-28更新
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1306次组卷
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6卷引用:上海市上海中学东校2021-2022学年高二下学期期末数学试题
上海市上海中学东校2021-2022学年高二下学期期末数学试题(已下线)第09讲 高考难点突破一:圆锥曲线的综合问题(定点问题) (精讲)-1(已下线)3.3(附加1)圆锥曲线的弦长与中点弦问题-2022-2023学年高二数学《基础·重点·难点 》全面题型高分突破(苏教版2019选择性必修第一册)(已下线)核心考点04抛物线、曲线与方程(2)(已下线)第26讲 圆锥曲线中定值问题(1)第三章 圆锥曲线的方程 讲核心03
解题方法
8 . 若是椭圆上的三个不同的点,为坐标原点,,则( )
A.若直线的斜率为,则直线的斜率为2 |
B.记的中点为,若,则 |
C.若,则 |
D.存在,满足 |
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名校
解题方法
9 . 已知双曲线,则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2 |
B.若F为C的左焦点,点P在C上,则满足的点M的轨迹方程为 |
C.若A,B在C上,线段AB的中点为,则线段AB的方程为 |
D.若P为双曲线上任意一点,点P到点和到直线的距离之比恒为2 |
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2022-01-22更新
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668次组卷
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6卷引用:山东省烟台市2021-2022学年高二上学期期末数学试题
山东省烟台市2021-2022学年高二上学期期末数学试题广东省惠州市华罗庚中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题(已下线)期末押题预测卷(提升卷)(考试范围:选择性必修第一册)-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷(苏教版2019选择性必修第一册)(已下线)3.2.2双曲线的简单几何性质(第2课时)(分层作业)(3种题型分类基础练+能力提升练)-【上好课】高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第一册)湖北省鄂州市第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题云南省红河州开远市第一中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
名校
解题方法
10 . 如图,椭圆的右焦点为F,过F任意作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于A,B两点和C,D两点,M,N分别为和的中点.
(1)若直线斜率为,其中O为坐标原点,求直线的斜率;
(2)记F到直线的距离为d,求d的最大值.
(1)若直线斜率为,其中O为坐标原点,求直线的斜率;
(2)记F到直线的距离为d,求d的最大值.
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