2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 费马原理,也称为时间最短原理:光传播的路径是光程取极值的路径.在凸透镜成像中,根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值(光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积).一般而言,空气的折射率约为1.如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图,其中平凸透镜的平面圆直径为6,且与轴交于点.平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜,所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像.(提示:光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射)
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线,直线与交于,两点,交轴于点,交轴于点(点不与的顶点重合).若,,试求出点所有可能的坐标.
(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线,试判断属于哪一种圆锥曲线,并求出其相应的解析式.
(2)设曲线为解析式同的完整圆锥曲线,直线与交于,两点,交轴于点,交轴于点(点不与的顶点重合).若,,试求出点所有可能的坐标.
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解题方法
2 . 已知平面内一动点与两定点连线的斜率的乘积为定值时,若该定值为正数,则该动点轨迹是双曲线(两定点除外);若该定值是负数,则该动点轨迹是圆或椭圆(两定点除外).如图,给定的矩形中,,,E、F、G、H分别是矩形四条边的中点,M、N分别是直线、的动点,,,其中,且直线与直线交于点P.下列说法正确的是( )
A.若,则P的轨迹是双曲线的一部分 |
B.若,则P的轨迹是椭圆的一部分 |
C.若,则P的轨迹是双曲线的一部分 |
D.若,则P的轨迹是椭圆的一部分 |
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3 . 已知直线,,动点满足,且到和的距离之积为.
(1)求的轨迹的方程;
(2)已知,过的动直线与交于不同两点,,若线段上有一点满足,求的最小值.
(1)求的轨迹的方程;
(2)已知,过的动直线与交于不同两点,,若线段上有一点满足,求的最小值.
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名校
解题方法
4 . 平面上,直线和相交于点,它们的夹角为.已知动点到直线与的距离之积为定值,动点的轨迹记为曲线.我们以为坐标原点,以直线与夹角的平分线为轴,建立直角坐标系,如图.
(1)求曲线的方程;
(2)当,时,直线与曲线顺次交于A、B、C、D四点,求证:;
(3)当,时,是否存在直线与曲线只有A、B、C三个不同公共点(点B在线段上),使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
(1)求曲线的方程;
(2)当,时,直线与曲线顺次交于A、B、C、D四点,求证:;
(3)当,时,是否存在直线与曲线只有A、B、C三个不同公共点(点B在线段上),使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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5 . 在直角坐标系中,是双曲线的两条渐近线上的动点,满足点A在第一象限,点在第四象限,且直线与的右支有交点.
(1)求的最小值;
(2)设是直线与的一个交点且.记上的点到的焦点的距离的取值集合为S,若,求面积的取值范围.
(1)求的最小值;
(2)设是直线与的一个交点且.记上的点到的焦点的距离的取值集合为S,若,求面积的取值范围.
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名校
解题方法
6 . 已知双曲线:,点M为双曲线C右支上一点,A、B为双曲线C的左、右顶点,直线与y轴交于点D,点Q在x轴正半轴上,点E在y轴上.
(1)若点,,过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S,T两点,求的面积;
(2)若点M不与B重合,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①;②;③.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
(1)若点,,过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S,T两点,求的面积;
(2)若点M不与B重合,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①;②;③.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
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2023-04-20更新
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2586次组卷
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6卷引用:广东省深圳市2023届高三二模数学试题
广东省深圳市2023届高三二模数学试题福建省厦门第一中学2023届高三下学期4月期中考试数学试题(已下线)模块四 专题7 解析几何(已下线)专题06 解析几何(已下线)押新高考第21题 圆锥曲线(已下线)技巧04 结构不良问题解题策略(5大核心考点)(讲义)
解题方法
7 . 如图,正六边形的边长为2.已知双曲线的焦点为A,D,两条渐近线分别为直线.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求的方程;
(2)过A的直线l与交于M,N两点,,若点P满足,证明:P在一条定直线上.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求的方程;
(2)过A的直线l与交于M,N两点,,若点P满足,证明:P在一条定直线上.
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2023-03-07更新
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628次组卷
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2卷引用:福建省莆田市2023届高三下学期3月第二次教学质量检测数学试题
8 . 已知点,直线,动点到的距离与到直线的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设点是轨迹上一点,在直线,上分别取点A,B,当A,B分别位于第一、二象限时,若,,求△AOB面积的取值范围.
附:在△ABC中,若,则△ABC的面积为.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设点是轨迹上一点,在直线,上分别取点A,B,当A,B分别位于第一、二象限时,若,,求△AOB面积的取值范围.
附:在△ABC中,若,则△ABC的面积为.
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名校
解题方法
9 . 已知直线是双曲线的渐近线,且双曲线过点,
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若双曲线与直线交于,(,)两点,直线又与圆切于点M,且,求直线的方程.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若双曲线与直线交于,(,)两点,直线又与圆切于点M,且,求直线的方程.
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2022-11-16更新
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533次组卷
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3卷引用:浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题
名校
解题方法
10 . 已知双曲线是其左、右两个焦点.是位于双曲线右支上一点,平面内还存在满足.
(1)若的坐标为,求的值;
(2)若,且,试判断是否位于双曲线上,并说明理由;
(3)若位于双曲线上,试用表示,并求出时的值.
(1)若的坐标为,求的值;
(2)若,且,试判断是否位于双曲线上,并说明理由;
(3)若位于双曲线上,试用表示,并求出时的值.
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2022-06-11更新
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1369次组卷
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6卷引用:上海市光明中学2022届高三模拟(一)数学试题
上海市光明中学2022届高三模拟(一)数学试题(已下线)专题24 圆锥曲线中的存在性、探索性问题 微点3 圆锥曲线中的存在性、探索性问题综合训练(已下线)专题12平面解析几何必考题型分类训练-4(已下线)专题19 圆锥曲线 (模拟练)-2(已下线)单元提升卷10 平面解析几何2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(一)