解题方法
1 . 在密码学领域,欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p,q是两个正整数,若p,q的最大公约数是1,则称p,q互素.对于任意正整数n,欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数,记为.
(1)试求,,,的值;
(2)设n是一个正整数,p,q是两个不同的素数.试求,与φ(p)和φ(q)的关系;
(3)RSA算法是一种非对称加密算法,它使用了两个不同的密钥:公钥和私钥.具体而言:
①准备两个不同的、足够大的素数p,q;
②计算,欧拉函数;
③求正整数k,使得kq除以的余数是1;
④其中称为公钥,称为私钥.
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是.若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列,数列满足,求数列的前n项和.
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365次组卷
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2卷引用:河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测数学试题
2 . 表示正整数a,b的最大公约数,若,且,,则将k的最大值记为,例如:,.
(1)求,,;
(2)已知时,.
(i)求;
(ii)设,数列的前n项和为,证明:.
(1)求,,;
(2)已知时,.
(i)求;
(ii)设,数列的前n项和为,证明:.
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3 . 对于数列,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和,则称为数列.
(1)若数列1,2,,8是数列,求实数的取值范围;
(2)设数列是首项为、公差为的等差数列,若该数列是数列,求的取值范围;
(3)设无穷数列是首项为、公比为的等比数列,有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列,其所有项和分别为、,求是数列时所满足的条件,并证明命题“若是数列,则总有”.
(1)若数列1,2,,8是数列,求实数的取值范围;
(2)设数列是首项为、公差为的等差数列,若该数列是数列,求的取值范围;
(3)设无穷数列是首项为、公比为的等比数列,有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列,其所有项和分别为、,求是数列时所满足的条件,并证明命题“若是数列,则总有”.
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名校
解题方法
4 . 若,都存在唯一的实数,使得,则称函数存在“源数列”.已知.
(1)证明:存在源数列;
(2)(ⅰ)若恒成立,求的取值范围;
(ⅱ)记的源数列为,证明:前项和.
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750次组卷
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2卷引用:福建省厦门市2024届高三下学期第二次质量检测数学试题
5 . 大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂,要想分析出海量数据所蕴含的价值,数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位,合适的算法就会起到事半功倍的效果.现有一个“数据漏斗”软件,其功能为;通过操作删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的项,并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列.设数列的通项公式,,通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到,设前n项和为.
(1)求;
(2)是否存在不同的实数,使得,,成等差数列?若存在,求出所有的;若不存在,说明理由;
(3)若,,对数列进行操作得到,将数列中下标除以4余数为0,1的项删掉,剩下的项按从小到大排列后得到,再将的每一项都加上自身项数,最终得到,证明:每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和.
(1)求;
(2)是否存在不同的实数,使得,,成等差数列?若存在,求出所有的;若不存在,说明理由;
(3)若,,对数列进行操作得到,将数列中下标除以4余数为0,1的项删掉,剩下的项按从小到大排列后得到,再将的每一项都加上自身项数,最终得到,证明:每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和.
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436次组卷
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2卷引用:辽宁省葫芦岛市2024届高三下学期第一次模拟数学试题
6 . 已知为等差数列,前项和为,若.
(1)求;
(2)对任意的,将中落入区间内项的个数记为.
①求;
②记的前项和记为,是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(1)求;
(2)对任意的,将中落入区间内项的个数记为.
①求;
②记的前项和记为,是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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名校
7 . 斐波那契数列,又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、…,在数学上,斐波那契数列以如下递推的方式定义:且中,则B中所有元素之和为奇数的概率为____ .
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8 . 对于数列(),定义为,,…,中最大值()(),把数列称为数列的“M值数列”.如数列2,2,3,7,6的“M值数列”为2,2,3,7,7,则( )
A.若数列是递减数列,则为常数列 |
B.若数列是递增数列,则有 |
C.满足为2,3,3,5,5的所有数列的个数为8 |
D.若,记为的前n项和,则 |
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9 . 如果数列,其中,对任意正整数都有,则称数列为数列的“接近数列”.已知数列为数列的“接近数列”.
(1)若,求的值;
(2)若数列是等差数列,且公差为,求证:数列是等差数列;
(3)若数列满足,且,记数列的前项和分别为,试判断是否存在正整数,使得?若存在,请求出正整数的最小值;若不存在,请说明理由.(参考数据:)
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10 . 在数列中,若存在常数,使得恒成立,则称数列为“数列”.
(1)若,试判断数列是否为“数列”,请说明理由;
(2)若数列为“数列”,且,数列为等比数列,且,求数列的通项公式;
(3)若正项数列为“数列”,且,,证明:.
(1)若,试判断数列是否为“数列”,请说明理由;
(2)若数列为“数列”,且,数列为等比数列,且,求数列的通项公式;
(3)若正项数列为“数列”,且,,证明:.
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1099次组卷
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3卷引用:河北省百师联盟2024届高三下学期开学摸底联考数学试题