1 . 已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．

2 . 已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数存在正零点，
（i）求的取值范围；
（ii）记为的极值点，证明：.

3 . 已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于.
(1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
(2)（i）证明：且；
（ii）当时，若，写出集合.

4 . 函数，关于x的方程，则下列正确的是（       ）

A．函数的值域为R

B．函数的单调减区间为

C．当时，则方程有4个不相等的实数根

D．若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是

5 . 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
(1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
(2)是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2；
(3)若为正整数，求：“完美集”.

6 . 已知函数，若存在实数且，使得，则的最大值为__________.

7 . 如图，正方体的棱长为1，动点在对角线上，过作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为，面积为，，下面关于函数和的描述正确的是（       ）

A．最大值为；

B．在时取得极大值；

C．在上单调递增，在上单调递减；

D．在上单调递增，在上单调递减

8 . 梵高《星月夜》用夸张的手法描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为__________.

9 . 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.

编号	1	2	3	4	5
学习时间x	30	40	50	60	70
数学成绩y	65	78	85	99	108

(1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）；
(2)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，的方差为200）；
(3)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.

	没有进步	有进步	合计
参与周末在校自主学习	35	130	165
未参与周末不在校自主学习	25	30	55
合计	60	160	220

附：方差：相关系数：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，.

	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

10 . 在数列中，，，，则下列说法正确的是（       ）

A．数列是递增数列	B．，使得
C．，	D．