名校
1 . 已知椭圆
的左焦点为
，且点
在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知
，点P为椭圆C上一点．
（ⅰ）若点P在第一象限内，
延长线交y轴于点Q，
与
的面积之比为1∶2，求点P坐标；
（ⅱ）设直线
与椭圆C的另一个交点为点B，直线
与椭圆C的另一个交点为点D．设
，求证：当点P在椭圆C上运动时，
为定值．
的左焦点为，且点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；
(2)已知
，点P为椭圆C上一点．（ⅰ）若点P在第一象限内，
延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标；（ⅱ）设直线
与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值．
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解题方法
2 . 已知
为有穷实数数列.对于实数
，若
中存在
，使得
，则称为
连续可表数，将所有连续可表数构成的集合记作
.
(1)设数列
，写出，并写出一个与不同的数列
使得
；
(2)求所有的整数
，使得存在数列满足
；
(3)设数列
与数列
满足
，
，
，.证明：
.
为有穷实数数列.对于实数，若中存在，使得，则称为连续可表数，将所有连续可表数构成的集合记作.(1)设数列
，写出，并写出一个与不同的数列使得；(2)求所有的整数
，使得存在数列满足；(3)设数列
与数列满足，，，.证明：.
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3 . 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小.定义函数
的曲率函数
（其中
是
的导数，
是的导数），函数在
处的曲率半径为此处曲率
的倒数，给出下列四个结论：
①函数
在无数个点处的曲率为1；
②函数
的曲率恒为
；
③函数
的曲率半径随着变大而变大；
④若函数
在
与
（
）处的曲率半径相同，则
.
其中，所有正确结论的序号是_____________ .
的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，给出下列四个结论：①函数
在无数个点处的曲率为1；②函数
的曲率恒为；③函数
的曲率半径随着变大而变大；④若函数
在与（）处的曲率半径相同，则.其中，所有正确结论的序号是
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解题方法
4 . 如图，在
中，点
是
的中点，
，过点
的直线分别交边
于
（不同于
）两点，且
，
． 
时，用向量
表示
，
；
(2)证明：
为定值．
中，点是的中点，，过点的直线分别交边于（不同于）两点，且，． 
时，用向量表示，；(2)证明：
为定值．
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5 . 如图，已知两个路灯
之间的距离是
，为了测量点与河对岸(不可到达)点
之间的距离，先后测得
和
的大小．
，求
两点之间的距离；
(2)假设你只携带量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）．请你设计一个可以计算出 河对岸两点
之间距离的方案，包括：
①指出要测量的数据并标示在图中；
②用文字和公式写出计算
之间距离的步骤．
之间的距离是，为了测量点与河对岸(不可到达)点之间的距离，先后测得和的大小．
，求两点之间的距离；(2)假设你只携带量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）．请你设计一个可以计算出 河对岸两点
之间距离的方案，包括：①指出要测量的数据并标示在图中；
②用文字和公式写出计算
之间距离的步骤．
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6 . 已知函数
．
(1)当
时，求
的最小值；
(2)求的单调区间；
(3)写出的零点个数（直接写出结果）．
．(1)当
时，求的最小值；(2)求
的单调区间；(3)写出
的零点个数（直接写出结果）．
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7 . 已知函数h(x)的定义域为R.若存在正整数k，使得对于任意实数x，都有 
则称
具有性质
.
(1)判断函数
是否具有性质 P(2)，并说明理由；
(2)设函数
其中 
是否存在ω、φ， 使得具有性质
?若存在，求ω，φ的值；若不存在，说明理由；
(3)已知函数具有性质 (k为正偶数)， 且在区间
上的值域为
. 设函数
，且满足下列条件：①
；②对于任意实数x，都有
；③
在区间
上的零点不超过 
个.求证：存在正偶数
使得 
.
参考公式：
.
则称具有性质.(1)判断函数
是否具有性质 P(2)，并说明理由；(2)设函数
其中 是否存在ω、φ， 使得具有性质?若存在，求ω，φ的值；若不存在，说明理由；(3)已知函数
具有性质 (k为正偶数)， 且在区间上的值域为. 设函数，且满足下列条件：① ；②对于任意实数x，都有 ；③在区间上的零点不超过 个.求证：存在正偶数使得 .参考公式：
.
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解题方法
8 . 若等差数列
满足
.对
，在
中的所有项组成集合
.记中最小值为
，最大值为
，元素个数为
，所有元素和为
，则下列命题中①
为等比数列；②
；③
；④
.所有正确的命题的序号是_____________ .
满足.对，在中的所有项组成集合.记中最小值为，最大值为，元素个数为，所有元素和为，则下列命题中①为等比数列；②；③；④.所有正确的命题的序号是
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解题方法
9 . 对于数列
，若存在
，使得对任意
，有
，则称为“有界变差数列”．给出以下四个结论：
① 若等差数列为“有界变差数列”，则的公差
等于0；
② 若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比q的取值范围是
；
③ 若数列
是“有界变差数列”，
满足
，则
是“有界变差数列”；
④ 若数列是“有界变差数列”，满足
，则
是“有界变差数列”；
其中所有正确结论的个数是（ ）
，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．给出以下四个结论：① 若等差数列
为“有界变差数列”，则的公差等于0；② 若各项均为正数的等比数列
为“有界变差数列”，则其公比q的取值范围是；③ 若数列
是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”；④ 若数列
是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”；其中所有正确结论的个数是（ ）
| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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10 . 已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若的极大值为
，求
的值；
(3)当
时，若
，
使得
，求的取值范围．
．(1)求曲线
在点处的切线方程；(2)若
的极大值为，求的值；(3)当
时，若，使得，求的取值范围．
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2024-07-09更新
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244次组卷
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2卷引用：北京市第二中学2023-2024学年高二下学期第六学段考试（期末）数学试题
