解题方法
1 . 过抛物线
的焦点
的直线交
于
，
两点，
，
是的准线
上两点，以
为直径的圆与
切于点，且以，，，为顶点的四边形的面积为64，则直线的斜率为______ .
的焦点的直线交于，两点，，是的准线上两点，以为直径的圆与切于点，且以，，，为顶点的四边形的面积为64，则直线的斜率为
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解题方法
2 . 若函数
在区间上满足
对任意
成立，则称为上的“可加函数”.
(1)若在区间
上的“可加函数”单调递减，证明：
；
(2)若对任意
及满足
的正实数
，都有
，则称函数是区间上的“凸函数”. 若对区间上的“凸函数”及给定的正整数
，对任意
及满足
的正实数
，都有
，证明：对任意
及满足
的正实数
，都有
；
(3)设随机变量
的可能取值为
，记
，则
. 信息熵是信息论中的一个重要概念，发生概率越高的事件能提供的信息量越少，设随机变量
时提供的信息量为
，在实际应用中常取
等. 定义信息熵
为信息量的数学期望，证明：当
时，
.
在区间上满足对任意成立，则称为上的“可加函数”.(1)若在区间
上的“可加函数”单调递减，证明：；(2)若对任意
及满足的正实数，都有，则称函数是区间上的“凸函数”. 若对区间上的“凸函数”及给定的正整数，对任意及满足的正实数，都有，证明：对任意及满足的正实数，都有；(3)设随机变量
的可能取值为，记，则. 信息熵是信息论中的一个重要概念，发生概率越高的事件能提供的信息量越少，设随机变量时提供的信息量为，在实际应用中常取等. 定义信息熵为信息量的数学期望，证明：当时，.
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3 . 在
中，
，点
为的外心.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的最大值；
(3)求证：
.
中，，点为的外心.(1)若
，求的值；(2)若
，求的最大值；(3)求证：
.
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4 . 已知函数
（
）．
(1)求函数
的单调区间；
(2)证明：
（
，
）；
(3)若函数
有三个不同的零点，求
的取值范围．
（）．(1)求函数
的单调区间；(2)证明：
（，）；(3)若函数
有三个不同的零点，求的取值范围．
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5 . 在数列
中，按照下面方式构成“次生数列”
，…，
，其中
表示数列
中最小的项.
(1)若数列中各项均不相等，只有4项，
，且
，请写出的所有“次生数列”
；
(2)若满足
，且
为等比数列，的“次生数列”为.
（i）求
的值；
（ii）求的前项和
.
中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项.(1)若数列
中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”；(2)若
满足，且为等比数列，的“次生数列”为.（i）求
的值；（ii）求
的前项和.
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解题方法
6 . 已知函数
的导函数为
.
(1)若
，求
的取值范围；
(2)若有两个极值点
，证明：
.
的导函数为.(1)若
，求的取值范围；(2)若
有两个极值点，证明：.
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7 . 已知函数
．则下列说法正确的是（ ）
．则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 |
B． ，使得在 上单调递增 |
C．若 为的极值点，则 |
D． ，坐标平面上存在点 ，使得有三条过点的直线与的图象相切 |
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名校
8 . 已知
分别是函数
与
的零点，则
的最大值为（ ）
分别是函数与的零点，则的最大值为（ ）| A．2 | B． | C． | D． |
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2024-07-18更新
|
524次组卷
|
3卷引用：辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题江苏省南通中学2024-2025学年高三上学期7月暑假测试数学试题（已下线）专题15 零点个数 两个视角（经典好题母题）【练】
解题方法
9 . 已知函数
其中
.
(1)若
证明：当
时，
(2)若
，求证：有唯一极值点
，且
；
(3)若
，函数
有三个极值点
证明：
.
其中.(1)若
证明：当时，(2)若
，求证：有唯一极值点，且；(3)若
，函数有三个极值点证明：.
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名校
10 . 已知函数
(1)求证：当
时，有两个零点；
(2)若
在
上恒成立，求实数的取值范围．
(1)求证：当
时，有两个零点；(2)若
在上恒成立，求实数的取值范围．
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